Analysis Beispiele

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ als ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 2

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $- k$ und $k$ ist.

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ nach $k$ $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 4

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 5

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ in Bezug auf $k$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $- k$ nach $k$ gleich $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Schritt 7

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ in Bezug auf $k$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- k$ heraus.

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $- (k)$ an.

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3

Subtrahiere $k^{2}$ von $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.6

Berechne den Exponenten.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.7

Multipliziere mit null.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.8

Subtrahiere $k^{2}$ von $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.9.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 8.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 8.10.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 0^{1}$

Schritt 8.11

Berechne den Exponenten.

$0 + 0$

Schritt 8.12

Addiere $0$ und $0$ .

$0$