Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.7

Separiere Brüche.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 1.2.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Schritt 1.2.11

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 1.2.12

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.12.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 1.2.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 1.2.14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.14.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.15

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.2.16.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.16.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 1.2.16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 1.2.16.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.17

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \sin (0) + \cos (0)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - 0 + \cos (0)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + \cos (0)$

Schritt 4.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f'' (0) = 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5