Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 10 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.1.1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$10 - 10 (- e^{- x})$

Schritt 1.1.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 e^{- x} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 e^{- x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Schritt 1.1.2.3.2

Addiere $- 10 e^{- x}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 e^{- x} = 0$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 e^{- x} = 0$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.4

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.5

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Graph ist konkav, da die zweite Ableitung negativ ist.

Der Graph ist konkav

Schritt 4