Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ und $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 {(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x + 1)}^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $20 {(x + 1)}^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ und $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 5.2.1.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ und $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Schritt 5.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 2, 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {((- 2) + 1)}^{3}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$20 {(- 1)}^{3}$

Schritt 9.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 \cdot - 1$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$- 20$

Schritt 10

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 2) = - 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 10 - 2$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Addiere $- 1$ und $10$ .

$f (- 2) = 9 - 2$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$f (- 2) = 7$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {((0) + 1)}^{3}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Addiere $0$ und $1$ .

$20 \cdot 1^{3}$

Schritt 13.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$20 \cdot 1$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 14

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 15.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (0) = 1 - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 15.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 2$

Schritt 15.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f (0) = 1 - 2$

Schritt 15.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (0) = - 1$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ .

$(- 2, 7)$ ist ein lokales Maximum

$(0, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17