Analysis Beispiele

$- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 (2 x)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 24$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} - 12 x + 24$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 x^{2} - 12 x + 24$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 x$ heraus.

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 12$ aus $24$ heraus.

$- 12 x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (x^{2}) - 12 (x)$ heraus.

$- 12 (x^{2} + x) - 12 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (x^{2} + x) - 12 (- 2)$ heraus.

$- 12 (x^{2} + x - 2) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 12 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 12 (x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 12 (x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 12 {(1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 1 - 2 + 12 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 12$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (1) = - 3 + 12$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 3$ und $12$ .

$f (1) = 9$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(1, 9)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, 9)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- 2) = - 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Multipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 2) = - 16 + (- 2) {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{1 + 3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{4} + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 48$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.2.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

$f (- 2) = 0 + 48$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $0$ und $48$ .

$f (- 2) = 48$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, 48)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, 48)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, 9), (- 2, 48)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - 12 {(- 2.1)}^{2} - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = - 12 \cdot 4.41 - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = - 52.92 - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - 52.92 + 25.2 + 24$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 52.92$ und $25.2$ .

$f'' (- 2.1) = - 27.72 + 24$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 27.72$ und $24$ .

$f'' (- 2.1) = - 3.72$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.72$ .

$- 3.72$

Schritt 6.3

Bei $- 2.1$ , die zweite Ableitung ist $- 3.72$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 \frac{1}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 3) (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 12 (\frac{- 1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2}) + 24$

Schritt 7.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2})) + 24$

Schritt 7.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 6 \cdot - 1 + 24$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 6 + 24$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 3$ und $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 24$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $3$ und $24$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 27$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 7.3

Bei $- \frac{1}{2}$ ist die zweite Ableitung $27$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2, 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2, 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1 + 24$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1 + 24$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 - 12 \cdot 1.1 + 24$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 - 13.2 + 24$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $13.2$ von $- 14.52$ .

$f'' (1.1) = - 27.72 + 24$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 27.72$ und $24$ .

$f'' (1.1) = - 3.72$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.72$ .

$- 3.72$

Schritt 8.3

Bei $1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 3.72$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2, 48), (1, 9)$ .

$(- 2, 48), (1, 9)$

Schritt 10