Analysis Beispiele

$f (x) = | 4 - x^{2} |$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- (2 x))$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- 2 x)$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |} x$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (4 - x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{3})}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x - 2 x^{3}$ und $g (x) = | 4 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (8 x - 2 x^{3}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 2 \frac{d}{d x} x^{3}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 2 (3 x^{2})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.5

Multipliziere.

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + 1 (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $8 x - 2 x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (2 x)}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) \cdot x}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.7.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot 0$

Schritt 2.5.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.9.1

Mutltipliziere $\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + 0$

Schritt 2.5.9.2

Addiere $- \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) \frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | \cdot 8 + | 4 - x^{2} | (- 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $| 4 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{8 \cdot | 4 - x^{2} | + | 4 - x^{2} | (- 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 \cdot | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x \cdot 8 + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 \cdot x + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.4.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.3.1.4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{3})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.6

Schreibe $8 x - 2 x^{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.3.1.4.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.3.1.4.6.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4) - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.6.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4) + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.6.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2^{2} - x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.4.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.3

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 (2 - x) + x (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 0 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.4.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.6

Mutltipliziere $8 x - 2 x^{3}$ mit $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(8 x - 2 x^{3}) (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1.7.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.3.1.7.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(2 x (4) - 2 x^{3}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(2 x (4) + 2 x (- x^{2})) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (4 - x^{2}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (2^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (2 + x) (2 - x) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x (2 + x) (2 - x) x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.6

Potenziere $2 + x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} ((2 + x) (2 + x)) (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.7

Potenziere $2 + x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} ((2 + x) (2 + x)) (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.10

Potenziere $2 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} ((2 - x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.11

Potenziere $2 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} ((2 - x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.7.4.13

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.2

Um $8 | 4 - x^{2} |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ heraus.

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Schritt 2.6.3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.2

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.3.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 (2 - x) + x (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.4.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.4.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 + 0 - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.3.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.4

Multipliziere $2 | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |$ .

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Schritt 2.6.3.4.4.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.4.2

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.4.3

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | {(4 - x^{2})}^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.5

Schreibe ${(4 - x^{2})}^{2}$ als $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.6

Multipliziere $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.7.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.7.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.8

Schreibe ${(2 + x)}^{2}$ als $(2 + x) (2 + x)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} ((2 + x) (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.9

Multipliziere $(2 + x) (2 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 (2 + x) + x (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.10.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.10.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + 2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.10.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.11

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.12.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.12.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.12.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.12.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.12.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.13

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.13.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.13.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{1 + 2} + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.13.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.14

Schreibe ${(2 - x)}^{2}$ als $(2 - x) (2 - x)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) ((2 - x) (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.15

Multipliziere $(2 - x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 (2 - x) - x (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.16.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.16.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x + x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.16.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 4 x + x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.17

Multipliziere $(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 4 x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.6.3.4.18.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{3}) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{2 + 2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{3} x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{3})) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.6.3.4.18.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 3}) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{4}) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.10

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 (x^{2} x^{3}) + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{2 + 3} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.10.3

Addiere $2$ und $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.11

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 \cdot x^{4} + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{4} x + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.13

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.13.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 (x \cdot x^{4}) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.13.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.6.3.4.18.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{1 + 4} + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.13.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.14

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.18.14.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{4 + 2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.18.14.2

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.19

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.4.19.1

Addiere $- 16 x^{3}$ und $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} + 0 - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.19.2

Addiere $16 x^{2} + 4 x^{4}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.19.3

Subtrahiere $4 x^{5}$ von $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4} + 0 + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.19.4

Addiere $16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.20

Subtrahiere $16 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 12 x^{4} + 4 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.4.21

Addiere $- 12 x^{4}$ und $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.5

Um $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.6

Kombiniere $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2}$ und $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})$ heraus.

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Schritt 2.6.3.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 2 (2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 2 (2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.2

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.3.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 (2 - x) + x (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.8.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.8.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 + 0 - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.3.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.4

Multipliziere $- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - x^{2} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.8.4.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.4.2

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.4.3

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | {(4 - x^{2})}^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.5

Schreibe ${(4 - x^{2})}^{2}$ als $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.6

Multipliziere $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.3.8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.3.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.8.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.8.7.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.7.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |) + 2 (16 x^{2}) + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.9

Vereinfache.

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Schritt 2.6.3.8.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (16 x^{2}) + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.9.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 32 x^{2} + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.9.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 32 x^{2} - 16 x^{4} + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.3.8.10

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Schreibe $\frac{\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |} \cdot \frac{1}{{| 4 - x^{2} |}^{2}})$

Schritt 2.6.4.2

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ mit $\frac{1}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) | {| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- (2 x))$

Schritt 4.1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- 2 x)$

Schritt 4.1.2.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |} x$

Schritt 4.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (4 - x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{3})}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x - 2 x^{3} = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$2 x (4) - 2 x^{3} = 0$

Schritt 5.3.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$2 x (4) + 2 x (- x^{2}) = 0$

Schritt 5.3.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$2 x (4 - x^{2}) = 0$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x (2^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$2 x ((2 + x) (2 - x)) = 0$

Schritt 5.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (2 + x) (2 - x) = 0$

Schritt 5.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.4

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 5.3.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 5.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 + x) (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 4 - x^{2} | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$4 - x^{2} = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 4$

Schritt 6.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.4.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 6.2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 16 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - {(0)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 16 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - {(0)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $32$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.9.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.9.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 + 0 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.10

Addiere $16$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.11

Addiere $16$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.12

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 16 + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.14.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.14.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.14.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 + 0 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.15

Addiere $16$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.16

Addiere $16$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.17

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 \cdot 16)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.18

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.19

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.20

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.21

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.2.22

Addiere $0$ und $64$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 (2 + 0) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Schritt 9.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 - 0 |}^{2}}$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 + 0 |}^{2}}$

Schritt 9.3.6

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 |}^{2}}$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 4 | {| 4 |}^{2}}$

Schritt 9.3.8

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 {| 4 |}^{2}}$

Schritt 9.3.9

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 \cdot 4^{2}}$

Schritt 9.3.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 \cdot 16}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$- \frac{128}{4 \cdot 16}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- \frac{128}{64}$

Schritt 9.4.3

Dividiere $128$ durch $64$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | 4 - {(0)}^{2} |$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = | 4 - 0 |$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = | 4 + 0 |$

Schritt 11.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = | 4 |$

Schritt 11.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$f (0) = 4$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| (2 - 2) (2 - (- 2)) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Entferne die Klammern.

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 (2 - (- 2)) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 (2 + 2) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13.4

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 \cdot 4 | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Schritt 13.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.7.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - 1 \cdot 4 |}^{2}}$

Schritt 13.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - 4 |}^{2}}$

Schritt 13.8

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 0 |}^{2}}$

Schritt 13.9

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 \cdot 0^{2}}$

Schritt 13.10

Multipliziere $0$ mit $0^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $0^{2}$ .

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Schritt 13.10.1.1

Potenziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{1} \cdot 0^{2}}$

Schritt 13.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{1 + 2}}$

Schritt 13.10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{3}}$

Schritt 13.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0}$

Schritt 13.12

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 (- 4) - 2 {(- 4)}^{3}}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 - 2 {(- 4)}^{3}}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 - 2 \cdot - 64}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 + 128}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2.1.4

Addiere $- 32$ und $128$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - 1 \cdot 16 |}$

Schritt 14.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - 16 |}$

Schritt 14.2.2.2.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| - 12 |}$

Schritt 14.2.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 12$ und $0$ ist $12$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{12}$

Schritt 14.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.2.2.3.1

Dividiere $96$ durch $12$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 8$

Schritt 14.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f' (- 4) = - 8$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1) - 2 {(- 1)}^{3}}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 - 2 {(- 1)}^{3}}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 - 2 \cdot - 1}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 + 2}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2.1.4

Addiere $- 8$ und $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.2.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 14.3.2.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Schritt 14.3.2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + {(- 1)}^{3} |}$

Schritt 14.3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 - 1 |}$

Schritt 14.3.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 3 |}$

Schritt 14.3.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{3}$

Schritt 14.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 14.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, 2)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 (1) - 2 {(1)}^{3}}{| 4 - {(1)}^{2} |}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 - 2 \cdot 1^{3}}{| 4 - 1^{2} |}$

Schritt 14.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{8 - 2 \cdot 1}{| 4 - 1^{2} |}$

Schritt 14.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 - 2}{| 4 - 1^{2} |}$

Schritt 14.4.2.1.4

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1^{2} |}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1 \cdot 1 |}$

Schritt 14.4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1 |}$

Schritt 14.4.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 3 |}$

Schritt 14.4.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$f' (1) = - \frac{6}{3}$

Schritt 14.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Schritt 14.4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = - 2$

Schritt 14.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - \frac{8 (4) - 2 {(4)}^{3}}{| 4 - {(4)}^{2} |}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 2 \cdot 4^{3}}{| 4 - 4^{2} |}$

Schritt 14.5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 2 \cdot 64}{| 4 - 4^{2} |}$

Schritt 14.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $64$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 128}{| 4 - 4^{2} |}$

Schritt 14.5.2.1.4

Subtrahiere $128$ von $32$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 4^{2} |}$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 1 \cdot 16 |}$

Schritt 14.5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 16 |}$

Schritt 14.5.2.2.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| - 12 |}$

Schritt 14.5.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 12$ und $0$ ist $12$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{12}$

Schritt 14.5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.3.1

Dividiere $- 96$ durch $12$ .

$f' (4) = 8$

Schritt 14.5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f' (4) = 8$

Schritt 14.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = - 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 2$ ein lokales Minimum.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Minimum.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = | 4 - x^{2} |$ .

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15