Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ um.

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ als ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, 1$

Schritt 2.4.1.2

Entferne die Klammern.

$y - 2, 1$

Schritt 2.4.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 2$

Schritt 2.4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ mit $y - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ mit $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Schritt 2.4.2.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Schritt 2.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ um.

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $2 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Schritt 2.4.3.3

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.3.3.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ als $x - 2$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ als $x - 2$ um.

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Schritt 4.2.3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.7.1

Multipliziere mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.7.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x - 2)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Schritt 4.2.3.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Schritt 4.3.4

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$