Analysis Beispiele

$| 8 - x^{2} |$

Schritt 1

Schreibe $| 8 - x^{2} |$ als Funktion.

$f (x) = | 8 - x^{2} |$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Schritt 2.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Schritt 2.2.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x$ heraus.

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 2.3.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (8 - x^{2})$ und $g (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (8 - x^{2})) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- 2 x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \cdot 1) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.8.3.1

Mutltipliziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 8 - x^{2}) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.8.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Schritt 3.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10

Differenziere.

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Schritt 3.10.1

Kombiniere $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ und $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.6

Multipliziere.

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Schritt 3.10.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + 1 (\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}) \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.6.2

Mutltipliziere $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (2 x))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) x)}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.10.8.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x (2 ((8 - x^{2}) x))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{1 + 1} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8 + 2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.17.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $| 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + 8 \cdot | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.4.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 16 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.1.7.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.6

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $16 x^{2} - 2 x^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.1.7.6.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.6.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.7.6.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.8

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ mit $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2}) (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.1.9.1

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.9.2

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.10

Multipliziere $2 \frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.1.10.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.2

Um $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | - 6 | 8 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.3

Kombiniere $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ und $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.4.5.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.1.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.1.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.2.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.2.2

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.2.3

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.1

Schreibe ${(8 - x^{2})}^{2}$ als $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.2

Multipliziere $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.3.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.4

Schreibe ${(8 - x^{2})}^{2}$ als $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 ((8 - x^{2}) (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.5

Multipliziere $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.6.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 16 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 64 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.5.3.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.5.3.8.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.6

Um $16 | 8 - x^{2} |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ heraus.

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Schritt 3.17.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.2

Multipliziere $8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

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Schritt 3.17.4.8.2.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.2.2

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.2.3

Potenziere $8 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.3

Schreibe ${(8 - x^{2})}^{2}$ als $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.4

Multipliziere $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.17.4.8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.17.4.8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.17.4.8.5.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.8.5.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.5.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.4.8.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.7.2

Bringe $128$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.17.4.8.8.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.4.8.8.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.4.8.8.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.4.8.8.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.17.5.1

Schreibe $\frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}})$

Schritt 3.17.5.2

Mutltipliziere $\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}$ mit $\frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.5.3

Multipliziere $| 8 - x^{2} |$ mit ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.5.3.1

Mutltipliziere $| 8 - x^{2} |$ mit ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ .

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Schritt 3.17.5.3.1.1

Potenziere $| 8 - x^{2} |$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Schritt 3.17.5.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Schritt 3.17.5.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 5.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 5.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 5.1.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 5.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Schritt 5.1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Schritt 5.1.2.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Schritt 5.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.2.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.4

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.1.3.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x$ heraus.

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.1.3.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$f' (x) = - \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (8 - x^{2}) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$8 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $8 - x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $8 - x^{2}$ gleich $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Löse $8 - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 8$

Schritt 6.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Schritt 6.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 6.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 6.3.3.2.4.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.3.3.2.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 6.3.3.2.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (8 - x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.4

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 8 - x^{2} | = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$8 - x^{2} = \pm 0$

Schritt 7.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 8$

Schritt 7.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.2.4.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Schritt 7.2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 7.2.6.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 7.2.6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 7.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2 \sqrt{2}, x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 128 {(0)}^{2} - 32 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 8 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $64$ und $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $64$ und $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $64$ ist $64$ .

$- \frac{2 (8 \cdot 64 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.8.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.8.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.8.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.9

Addiere $64$ und $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.10

Addiere $64$ und $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.11

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $64$ ist $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 \cdot 64 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.12

Mutltipliziere $0$ mit $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.14

Mutltipliziere $128$ mit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.16

Mutltipliziere $- 32$ mit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.17

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.18

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.19

Addiere $512 + 0 + 0 + 0$ und $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.20

Addiere $512 + 0 + 0$ und $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.21

Addiere $512 + 0$ und $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.1.22

Addiere $512$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0 |}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 + 0 |}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Addiere $8$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 |}^{3}}$

Schritt 10.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{8^{3}}$

Schritt 10.2.5

Potenziere $8$ mit $3$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{512}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$- \frac{1024}{512}$

Schritt 10.3.2

Dividiere $1024$ durch $512$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | 8 - {(0)}^{2} |$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = | 8 - 0 |$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = | 8 + 0 |$

Schritt 12.2.2

Addiere $8$ und $0$ .

$f (0) = | 8 |$

Schritt 12.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$f (0) = 8$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2 \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | + 128 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 32 {(- 2 \sqrt{2})}^{4} + 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{6})}{{| 8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2} |}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

Schritt 14.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 14.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Schritt 14.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Schritt 14.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Schritt 14.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 14.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

Schritt 14.1.3.5

Berechne den Exponenten.

Schritt 14.1.4

Multipliziere $- (4 \cdot 2)$ .

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Schritt 14.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

Schritt 14.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

Schritt 14.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

Schritt 14.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

Schritt 14.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 5$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ in die erste Ableitung $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Schritt 15.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 25 |}$

Schritt 15.2.2.2.3

Subtrahiere $25$ von $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| - 17 |}$

Schritt 15.2.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 17$ und $0$ ist $17$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{17}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.2.3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Schritt 15.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 25)}{17}$

Schritt 15.2.2.3.3

Subtrahiere $25$ von $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 17}{17}$

Schritt 15.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 17$ .

$f' (- 5) = - \frac{170}{17}$

Schritt 15.2.2.4.2

Dividiere $170$ durch $17$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Schritt 15.2.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Schritt 15.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 - {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 15.3.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.2.3.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.3.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 15.3.2.3.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Schritt 15.3.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Schritt 15.3.2.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{3} |}$

Schritt 15.3.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - 1 |}$

Schritt 15.3.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 7 |}$

Schritt 15.3.2.3.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7$ ist $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{7}$

Schritt 15.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.2.4.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 - 1)}{7}$

Schritt 15.3.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 15.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{7}$

Schritt 15.3.2.5.2

Dividiere $- 14$ durch $7$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 15.3.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 15.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, 2 \sqrt{2})$ in die erste Ableitung $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1) (8 - {(1)}^{2})}{| 8 - {(1)}^{2} |}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1^{2} |}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 \cdot 1 |}$

Schritt 15.4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 |}$

Schritt 15.4.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 7 |}$

Schritt 15.4.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7$ ist $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{7}$

Schritt 15.4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1 \cdot 1)}{7}$

Schritt 15.4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1)}{7}$

Schritt 15.4.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 7}{7}$

Schritt 15.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.4.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (1) = - \frac{14}{7}$

Schritt 15.4.2.4.2

Dividiere $14$ durch $7$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Schritt 15.4.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = - 2$

Schritt 15.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 15.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(2 \sqrt{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{2 (5) (8 - {(5)}^{2})}{| 8 - {(5)}^{2} |}$

Schritt 15.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 5^{2} |}$

Schritt 15.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.5.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Schritt 15.5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 25 |}$

Schritt 15.5.2.2.3

Subtrahiere $25$ von $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| - 17 |}$

Schritt 15.5.2.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 17$ und $0$ ist $17$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{17}$

Schritt 15.5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Schritt 15.5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 25)}{17}$

Schritt 15.5.2.3.3

Subtrahiere $25$ von $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 17}{17}$

Schritt 15.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 17$ .

$f' (5) = - \frac{- 170}{17}$

Schritt 15.5.2.4.2

Dividiere $- 170$ durch $17$ .

$f' (5) = 10$

Schritt 15.5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Schritt 15.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = - 2 \sqrt{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 2 \sqrt{2}$ ein lokales Minimum.

$x = - 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.8

Da die erste Ableitung um $x = 2 \sqrt{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2 \sqrt{2}$ ein lokales Minimum.

$x = 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$x = - 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16