Analysis Beispiele

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 5 x + 6$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Addiere $2 x - 5$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $(- x + 2) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Addiere $5 x$ und $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $- 5 x$ und $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.4

Subtrahiere $10$ von $6$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 2.3.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Wende die Produktregel auf $(x - 3) (x - 2)$ an.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ als ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

Schritt 3.4.7.2

Addiere $2 {(x - 3)}^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7