Analysis Beispiele

$\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 8 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.2

Addiere $- 32 x^{5}$ und $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.5.1.1

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $- 16 x^{5}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.1.2

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.1.3

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2} + 4$ heraus.

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Schritt 2.6.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Schritt 2.6.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 2.6.6.2

Wende die Produktregel auf $4 (- 2 x^{2} + 1)$ an.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.6.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} (1 + x)$ und $g (x) = 1 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (1 - x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3} (1 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- 1 \cdot (x^{3} (1 + x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.6.3

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (1 + x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) (3 x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot ((1 + x) x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 u \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.2

Faktorisiere $- 2 x^{2} + 1$ aus ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 3.8.2.1

Faktorisiere $- 2 x^{2} + 1$ aus ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.2.2

Faktorisiere $- 2 x^{2} + 1$ aus $- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.2.3

Faktorisiere $- 2 x^{2} + 1$ aus $(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $- 2 x^{2} + 1$ aus ${(- 2 x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{(- 2 x^{2} + 1) {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + 0)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.15

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.15.1

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.15.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{3} (1 + x) (1 - x) x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 (x \cdot x^{3}) (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{1 + 3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.18

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + (3 \cdot 1 + 3 x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{1 + 3} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.4

Addiere $x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.5

Multipliziere $(1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3} + 3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $4 x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.2

Mutltipliziere $3 x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 3 x^{3}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.1.6.2

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.2.1

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 0 + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.2.2

Addiere $- x^{4}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.3

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.4

Multipliziere $(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.19.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.19.5.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{2} x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.5.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 (x^{4} x^{2})) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{4 + 2}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{6}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.5.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.7

Mutltipliziere $- 5 x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.1.8

Mutltipliziere $3 x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.5.2

Subtrahiere $5 x^{4}$ von $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.6.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{1 + 4}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.6.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.7

Multipliziere $(8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} (1 - x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{4} x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 4}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.3.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{5} x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.7

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1.7.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.5.1.8.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 5})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.7.3

Addiere $1$ und $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{6})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.1.8

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.2

Addiere $- 8 x^{5}$ und $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 0 - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.1.8.3

Addiere $8 x^{4}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.2

Subtrahiere $8 x^{6}$ von $10 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.5.3

Addiere $- 11 x^{4}$ und $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.19.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.6.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.6.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.19.6.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2} + 3)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 8 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.6.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.6.3.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.2

Addiere $- 32 x^{5}$ und $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.5.1

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.5.1.1

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $- 16 x^{5}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5.1.2

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5.1.3

Faktorisiere $16 x^{3}$ aus $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2} + 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Schritt 5.1.6.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 5.1.6.6.2

Wende die Produktregel auf $4 (- 2 x^{2} + 1)$ an.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.6.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.2.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 6.3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.3.4

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 6.3.4.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} + 1$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

${(- (2 x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

${(- (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

${(- (2 x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- (2 x^{2} - 1)$ an.

${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ durch ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Schritt 7.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.3

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 7.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 1$

Schritt 7.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.2.4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.2.4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.2.4.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}, x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{{(0)}^{2} (2 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 3)}{{(- 2 {(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0^{2} (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.6

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{0^{2} \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0 \cdot 3}{1^{3}}$

Schritt 10.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0 \cdot 3}{1}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 10.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die erste Ableitung $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 + 4)}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot - 3 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.5

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 3$ .

$f' (- 4) = \frac{192 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.5.2

Mutltipliziere $192$ mit $5$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3.3

Addiere $- 32$ und $1$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 31)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3.4

Potenziere $- 31$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{961}$

Schritt 11.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{960}{961}$ .

$\frac{960}{961}$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 0.85$ , aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.2

Subtrahiere $0.85$ von $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} \cdot (0.15 (1 + 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.3.2.2.3.1

Mutltipliziere ${(- 0.85)}^{3}$ mit $0.15$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.09211875 (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 0.09211875$ mit $1 + 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.3.1

Potenziere $- 0.85$ mit $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 \cdot 0.7225 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.7225$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 1.445 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.3.3

Addiere $- 1.445$ und $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 0.445)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.3.4

Potenziere $- 0.445$ mit $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{0.198025}$

Schritt 11.3.2.4

Dividiere $- 0.17041968$ durch $0.198025$ .

$f' (- 0.85) = - 0.86059683$

Schritt 11.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.86059683$ .

$- 0.86059683$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.35$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} (1 + 0.35) (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.2.2

Addiere $1$ und $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} \cdot (1.35 (1 - 0.35))}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.2.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.4.2.2.3.1

Mutltipliziere ${0.35}^{3}$ mit $1.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.05788125 (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.2.3.2

Mutltipliziere $0.05788125$ mit $1 - 0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.4.2.3.1

Potenziere $0.35$ mit $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot 0.1225 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.1225$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 0.245 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.4.2.3.3

Addiere $- 0.245$ und $1$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{0.755}^{2}}$

Schritt 11.4.2.3.4

Potenziere $0.755$ mit $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{0.570025}$

Schritt 11.4.2.4

Dividiere $0.03762281$ durch $0.570025$ .

$f' (0.35) = 0.06600203$

Schritt 11.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $0.06600203$ .

$0.06600203$

Schritt 11.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.5.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} (1 + 4) (1 - 4)}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot 5 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.5.2.2.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $5$ .

$f' (4) = \frac{320 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.2.5.2

Mutltipliziere $320$ mit $- 3$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.5.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.3.3

Addiere $- 32$ und $1$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 31)}^{2}}$

Schritt 11.5.2.3.4

Potenziere $- 31$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{961}$

Schritt 11.5.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{960}{961}$

Schritt 11.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{960}{961}$ .

$- \frac{960}{961}$

Schritt 11.6

Da die erste Ableitung um $x = - 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - 1$ ein lokales Maximum.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.8

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Maximum.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ .

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12