Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ als ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.10

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.13

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x + 0)$

Schritt 2.14

Addiere $4 x^{3} - 14 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x)$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x)$ um.

$(4 x^{3} - 14 x) \frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $4 x^{3} - 14 x$ mit $\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 14 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.3

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 14 x$ heraus.

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Schritt 2.15.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2}) - 14 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 7)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2} - 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (2 x^{2} - 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (2 x^{2} - 7)$ und $g (x) = {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 7)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 7)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 7)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 7)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2 x^{2} - 7$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 7) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7)) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7)) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 7)) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} (- 7)) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.5.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (4 (x \cdot x) + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 7) \cdot 1) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.9.3.1

Mutltipliziere $2 x^{2} - 7$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.9.3.2

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

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Schritt 3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.10.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.15.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.15.3

Bringe ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - x (2 x^{2} - 7) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.15.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} (x^{4} - 7 x^{2} + 16)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.18

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.20

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x + \frac{d}{d x} (16)))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.21

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x + 0))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.22

Addiere $4 x^{3} - 14 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2} - 7) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23

Vereinfache.

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Schritt 3.23.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.23.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (6 x^{2}) + {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 x^{2} - 7) (4 x^{3} - 14 x))}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x^{2}) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.23.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x^{2}) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 x^{2}) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (x^{2})) - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.23.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{2} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.6

Kombiniere $\frac{- x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x \cdot x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- (x^{2} x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.23.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 3.23.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x^{2 + 1}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.8

Multipliziere $- \frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 7$ .

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Schritt 3.23.1.8.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 7 (\frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.8.2

Kombiniere $7$ und $\frac{x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.10

Multipliziere $(- \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) (4 x^{3} - 14 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.23.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.23.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.23.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.23.1.11.1.1

Multipliziere $- \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{3} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{3} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.1.3

Kombiniere $\frac{- 4 x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.1.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.11.1.1.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.1.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3

Multipliziere $- \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (- 14 x)$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.3.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 14 (\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3.2

Kombiniere $14$ und $\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3.3

Kombiniere $\frac{14 x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{3} x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 (x \cdot x^{3})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{1 + 3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.3.6

Addiere $1$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3}) + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 4 (\frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.11.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (2 (\frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (2 (\frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{7 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{7 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (7 x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{3} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.8

Multipliziere $\frac{14 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.8.1

Kombiniere $\frac{14 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.11.1.8.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 (x^{3} x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.8.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 (x^{3} x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{3 + 1}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.8.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 14 x)}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - 14 \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 7 \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 7 \frac{7 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - 7 \frac{7 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.11

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 (7 x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 49 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.14

Multipliziere $- \frac{49 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} x$ .

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Schritt 3.23.1.11.1.14.1

Kombiniere $x$ und $\frac{49 x}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (49 x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.14.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 (x \cdot x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.14.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 (x \cdot x)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{1 + 1}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.1.14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.2

Addiere $\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.3

Um $2 \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.4

Kombiniere $2 \frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{6}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + 2 (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + 2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.11.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + 2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}) - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.23.1.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.23.1.12.1.1

Faktorisiere ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (\frac{14 x^{4}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})) - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.23.1.12.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + 2 (14 x^{4}) - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3

Schreibe $- 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.23.1.12.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.23.1.12.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 x^{4}) + 28 x^{4} - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $28 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 x^{4}) + x^{2} (28 x^{2}) - 49 x^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 49 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 x^{4}) + x^{2} (28 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- 4 x^{4}) + x^{2} (28 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 x^{4} + 28 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- 4 x^{4} + 28 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 x^{4} + 28 x^{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.3

Es sei $u_{2} = x^{2}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 {u_{2}}^{2} + 28 u_{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.23.1.12.3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot - 49 = 196$ und deren Summe gleich $b = 28$ ist.

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Schritt 3.23.1.12.3.4.1.1

Faktorisiere $28$ aus $28 u_{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 {u_{2}}^{2} + 28 (u_{2}) - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4.1.2

Schreibe $28$ um als $14$ plus $14$

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 {u_{2}}^{2} + (14 + 14) u_{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 4 {u_{2}}^{2} + 14 u_{2} + 14 u_{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.23.1.12.3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} ((- 4 {u_{2}}^{2} + 14 u_{2}) + 14 u_{2} - 49)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (2 u_{2} (- 2 u_{2} + 7) - 7 (- 2 u_{2} + 7))}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 u_{2} + 7$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} ((- 2 u_{2} + 7) (2 u_{2} - 7))}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 2 x^{2} + 7) (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.23.1.12.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- (2 x^{2}) + 7) (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.2

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- (2 x^{2}) - 1 \cdot - 7) (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- 7)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- (2 x^{2} - 7)) (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.4

Schreibe $- (2 x^{2} - 7)$ als $- 1 (2 x^{2} - 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (- 1 (2 x^{2} - 7)) (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.5

Potenziere $2 x^{2} - 7$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} \cdot (- 1 ((2 x^{2} - 7) (2 x^{2} - 7)))}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.6

Potenziere $2 x^{2} - 7$ mit $1$ .

Schritt 3.23.1.12.3.6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} \cdot (- 1 {(2 x^{2} - 7)}^{1 + 1})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.3.6.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} \cdot (- 1 {(2 x^{2} - 7)}^{2})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.12.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.14

Um $6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.16

Um $- 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Schritt 3.23.1.17

Kombiniere $- 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19

Schreibe $\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.23.1.19.1

Multipliziere ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.19.1.1

Bewege ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 ({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x^{4} - 7 x^{2} + 16) x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.2

Vereinfache $6 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{1} x^{2}$ .

Schritt 3.23.1.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{(6 x^{4} + 6 (- 7 x^{2}) + 6 \cdot 16) x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(6 x^{4} - 42 x^{2} + 6 \cdot 16) x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(6 x^{4} - 42 x^{2} + 96) x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{4} x^{2} - 42 x^{2} x^{2} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.6.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x^{2} x^{4}) - 42 x^{2} x^{2} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{2 + 4} - 42 x^{2} x^{2} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6.1.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{2} x^{2} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 (x^{2} x^{2}) + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{2 + 2} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.6.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} {(2 x^{2} - 7)}^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.7

Schreibe ${(2 x^{2} - 7)}^{2}$ als $(2 x^{2} - 7) (2 x^{2} - 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} ((2 x^{2} - 7) (2 x^{2} - 7)) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.8

Multipliziere $(2 x^{2} - 7) (2 x^{2} - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.23.1.19.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 x^{2} (2 x^{2} - 7) - 7 (2 x^{2} - 7)) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2} - 7)) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.23.1.19.9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.19.9.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 7 - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4} - 14 x^{2} - 7 (2 x^{2}) - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4} - 14 x^{2} - 14 x^{2} - 7 \cdot - 7) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4} - 14 x^{2} - 14 x^{2} + 49) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.9.2

Subtrahiere $14 x^{2}$ von $- 14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4} - 28 x^{2} + 49) - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - x^{2} (4 x^{4}) - x^{2} (- 28 x^{2}) - x^{2} \cdot 49 - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 28 x^{2}) - x^{2} \cdot 49 - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 49 - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.11.3

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.23.1.19.12.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.1.19.12.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.1.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{6}) - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} - 1 \cdot (- 28 x^{2} x^{2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.12.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} - 1 \cdot (- 28 (x^{2} x^{2})) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} - 1 \cdot (- 28 x^{2 + 2}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} - 1 \cdot (- 28 x^{4}) - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.13

Multipliziere ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.23.1.19.13.1

Bewege ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 ({(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.13.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 (x^{4} - 7 x^{2} + 16)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.14

Vereinfache $- 7 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 (x^{4} - 7 x^{2} + 16)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.15

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 x^{4} - 7 (- 7 x^{2}) - 7 \cdot 16}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.16

Vereinfache.

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Schritt 3.23.1.19.16.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 x^{4} + 49 x^{2} - 7 \cdot 16}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.16.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} - 4 x^{6} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 x^{4} + 49 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.17

Subtrahiere $4 x^{6}$ von $6 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{6} - 42 x^{4} + 96 x^{2} + 28 x^{4} - 49 x^{2} - 7 x^{4} + 49 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.18

Addiere $- 42 x^{4}$ und $28 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{6} - 14 x^{4} + 96 x^{2} - 49 x^{2} - 7 x^{4} + 49 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.19

Subtrahiere $7 x^{4}$ von $- 14 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 49 x^{2} + 49 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.20

Subtrahiere $49 x^{2}$ von $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 47 x^{2} + 49 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.1.19.21

Addiere $47 x^{2}$ und $49 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.23.2.1

Schreibe $\frac{\frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$

Schritt 3.23.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} - 7 x^{2} + 16)}$

Schritt 3.23.2.3

Multipliziere ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.23.2.3.1

Mutltipliziere ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

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Schritt 3.23.2.3.1.1

Potenziere $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} - 7 x^{2} + 16)}$

Schritt 3.23.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 3.23.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 3.23.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 3.23.2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 21 x^{4} + 96 x^{2} - 112}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ als ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.7.3

Bringe ${(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x^{2} + 16]$

Schritt 5.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 7 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.1.10

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 5.1.13

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x + 0)$

Schritt 5.1.14

Addiere $4 x^{3} - 14 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x)$

Schritt 5.1.15

Vereinfache.

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Schritt 5.1.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 14 x)$ um.

$(4 x^{3} - 14 x) \frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.2

Mutltipliziere $4 x^{3} - 14 x$ mit $\frac{1}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 14 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.3

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 14 x$ heraus.

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Schritt 5.1.15.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2}) - 14 x}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 7)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2} - 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (2 x^{2} - 7)}{2 {(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 7)}{{(x^{4} - 7 x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (2 x^{2} - 7) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $2 x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $2 x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Löse $2 x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 7$

Schritt 6.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{2}}$ .

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Schritt 6.3.3.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{2}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.3.3.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.3.3.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3.3.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.3.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.3.3.2.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x^{2} - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 {(0)}^{6} - 21 {(0)}^{4} + 96 {(0)}^{2} - 112}{{({(0)}^{4} - 7 {(0)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 21 \cdot 0^{4} + 96 \cdot 0^{2} - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 21 \cdot 0^{4} + 96 \cdot 0^{2} - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 21 \cdot 0 + 96 \cdot 0^{2} - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 21$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 96 \cdot 0^{2} - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0 + 96 \cdot 0 - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $96$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.7

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0 - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.8

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.9

Subtrahiere $112$ von $0$ .

$\frac{- 112}{{(0^{4} - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 112}{{(0 - 7 \cdot 0^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 112}{{(0 - 7 \cdot 0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$\frac{- 112}{{(0 + 0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 112}{{(0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.3

Addiere $0$ und $16$ .

$\frac{- 112}{16^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- 112}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 112}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 112}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 112}{4^{3}}$

Schritt 10.2.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- 112}{64}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 112$ und $64$ .

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $- 112$ heraus.

$\frac{16 (- 7)}{64}$

Schritt 10.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$\frac{16 \cdot - 7}{16 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot - 7}{16 \cdot 4}$

Schritt 10.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{4}$

Schritt 10.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{4}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{4} - 7 {(0)}^{2} + 16}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 - 7 {(0)}^{2} + 16}$

Schritt 12.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 - 7 \cdot 0 + 16}$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 0 + 16}$

Schritt 12.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 16}$

Schritt 12.2.5

Addiere $0$ und $16$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Schritt 12.2.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 12.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 4$

Schritt 12.2.8

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{14}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{6} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{2 \frac{{\sqrt{14}}^{6}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{6}$ als $14^{3}$ um.

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Schritt 14.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{6}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{2 \frac{14^{\frac{6}{2}}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 14.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{3}{1}}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{2 \frac{14^{3}}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2.2

Potenziere $14$ mit $3$ .

$\frac{2 \frac{2744}{2^{6}} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 (\frac{2744}{64}) - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 \frac{2744}{2 (32)} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{2744}{2 \cdot 32} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2744}{32} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2744$ und $32$ .

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Schritt 14.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $2744$ heraus.

$\frac{\frac{8 (343)}{32} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$\frac{\frac{8 \cdot 343}{8 \cdot 4} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{8 \cdot 343}{8 \cdot 4} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.7.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

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Schritt 14.1.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.1.7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.7.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{2}}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.7.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{196}{2^{4}} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.8

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 (\frac{196}{16}) + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

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Schritt 14.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 (49)}{16} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 (\frac{49}{4}) + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.10

Multipliziere $- 21 (\frac{49}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.10.1

Kombiniere $- 21$ und $\frac{49}{4}$ .

$\frac{\frac{343}{4} + \frac{- 21 \cdot 49}{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.10.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $49$ .

$\frac{\frac{343}{4} + \frac{- 1029}{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.12

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{1}}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.13.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14}{2^{2}} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 (\frac{14}{4}) - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $96$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 4 (24) \frac{14}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 4 \cdot 24 \frac{14}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 24 \cdot 14 - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.16

Mutltipliziere $24$ mit $14$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 336 - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{343 - 1029}{4} + 336 - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.18

Subtrahiere $1029$ von $343$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + 336 - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.19

Um $336$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + 336 \cdot \frac{4}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.20

Kombiniere $336$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + \frac{336 \cdot 4}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 686 + 336 \cdot 4}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.22

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.22.1

Mutltipliziere $336$ mit $4$ .

$\frac{\frac{- 686 + 1344}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.22.2

Addiere $- 686$ und $1344$ .

$\frac{\frac{658}{4} - 112}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.23

Um $- 112$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{658}{4} - 112 \cdot \frac{4}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.24

Kombiniere $- 112$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{658}{4} + \frac{- 112 \cdot 4}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{658 - 112 \cdot 4}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.26

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.26.1

Mutltipliziere $- 112$ mit $4$ .

$\frac{\frac{658 - 448}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.26.2

Subtrahiere $448$ von $658$ .

$\frac{\frac{210}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.27

Kürze den gemeinsamen Teiler von $210$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.27.1

Faktorisiere $2$ aus $210$ heraus.

$\frac{\frac{2 (105)}{4}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.27.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.27.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.27.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{({(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{2}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.2.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{196}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{196}{16} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 (49)}{16} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{1}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 (\frac{14}{4}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 (7)}{4} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 (\frac{7}{2}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.9

Multipliziere $- 7 (\frac{7}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.9.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.9.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} + \frac{- 49}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - (\frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.3

Schreibe $16$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 49 \cdot 2 + 16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.4.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 98 + 16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 98 + 64}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.5

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{- 49 + 64}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.6

Addiere $- 49$ und $64$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{15}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{4}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 14.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 14.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 14.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 14.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Schritt 14.2.8.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Schritt 14.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{105}{2} \cdot \frac{8}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.4

Kombinieren.

$\frac{105 \cdot 8}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $2$ aus $105 \cdot 8$ heraus.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 (15^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 14.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{105 \cdot 4}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.7

Mutltipliziere $105$ mit $4$ .

$\frac{420}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

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Schritt 16.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 16.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{2}}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.2.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{196}{2^{4}} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 16.2.3.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{196}{16} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

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Schritt 16.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 (49)}{16} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 16.2.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 16.2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16}$

Schritt 16.2.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 (\frac{14}{4}) + 16}$

Schritt 16.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 16.2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 (7)}{4} + 16}$

Schritt 16.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 16.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 16.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 (\frac{7}{2}) + 16}$

Schritt 16.2.4

Multipliziere $- 7 (\frac{7}{2})$ .

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Schritt 16.2.4.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} + 16}$

Schritt 16.2.4.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 49}{2} + 16}$

Schritt 16.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16}$

Schritt 16.2.6

Um $- \frac{49}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2} + 16}$

Schritt 16.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 16.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{4} + 16}$

Schritt 16.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49 - 49 \cdot 2}{4} + 16}$

Schritt 16.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.9.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49 - 98}{4} + 16}$

Schritt 16.2.9.2

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + 16}$

Schritt 16.2.10

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 16.2.11

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}}$

Schritt 16.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49 + 16 \cdot 4}{4}}$

Schritt 16.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.13.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49 + 64}{4}}$

Schritt 16.2.13.2

Addiere $- 49$ und $64$ .

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{15}{4}}$

Schritt 16.2.14

Schreibe $\sqrt{\frac{15}{4}}$ als $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$ um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$

Schritt 16.2.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.15.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 16.2.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Schritt 16.2.16

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{15}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{6} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 18.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{2 ({(- 1)}^{6} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{6}) - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{2 ({(- 1)}^{6} \frac{{\sqrt{14}}^{6}}{2^{6}}) - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{2 (1 \frac{{\sqrt{14}}^{6}}{2^{6}}) - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{6}}{2^{6}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{{\sqrt{14}}^{6}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{6}$ als $14^{3}$ um.

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Schritt 18.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{6}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{2 \frac{14^{\frac{6}{2}}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 18.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \frac{14^{\frac{3}{1}}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{2 \frac{14^{3}}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.4.2

Potenziere $14$ mit $3$ .

$\frac{2 \frac{2744}{2^{6}} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.5

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 (\frac{2744}{64}) - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 \frac{2744}{2 (32)} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{2744}{2 \cdot 32} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2744}{32} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2744$ und $32$ .

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Schritt 18.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $2744$ heraus.

$\frac{\frac{8 (343)}{32} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1.7.2.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$\frac{\frac{8 \cdot 343}{8 \cdot 4} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 18.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 18.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4}) + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}) + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.9

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 (1 \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}) + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.10

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.11.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.11.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.11.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.11.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{14^{2}}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.11.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{196}{2^{4}} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.12

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{343}{4} - 21 (\frac{196}{16}) + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 (49)}{16} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - 21 (\frac{49}{4}) + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.14

Multipliziere $- 21 (\frac{49}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.14.1

Kombiniere $- 21$ und $\frac{49}{4}$ .

$\frac{\frac{343}{4} + \frac{- 21 \cdot 49}{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.14.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $49$ .

$\frac{\frac{343}{4} + \frac{- 1029}{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.16

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 18.1.16.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2}) - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.16.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.17

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 (1 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.18

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.19.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.19.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14^{1}}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.19.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 \frac{14}{2^{2}} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.20

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 96 (\frac{14}{4}) - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.21.1

Faktorisiere $4$ aus $96$ heraus.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 4 (24) \frac{14}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.21.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 4 \cdot 24 \frac{14}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.21.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 24 \cdot 14 - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.22

Mutltipliziere $24$ mit $14$ .

$\frac{\frac{343}{4} - \frac{1029}{4} + 336 - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{343 - 1029}{4} + 336 - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.24

Subtrahiere $1029$ von $343$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + 336 - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.25

Um $336$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + 336 \cdot \frac{4}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.26

Kombiniere $336$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 686}{4} + \frac{336 \cdot 4}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 686 + 336 \cdot 4}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.28

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.28.1

Mutltipliziere $336$ mit $4$ .

$\frac{\frac{- 686 + 1344}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.28.2

Addiere $- 686$ und $1344$ .

$\frac{\frac{658}{4} - 112}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.29

Um $- 112$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{658}{4} - 112 \cdot \frac{4}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.30

Kombiniere $- 112$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{658}{4} + \frac{- 112 \cdot 4}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{658 - 112 \cdot 4}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.32

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.32.1

Mutltipliziere $- 112$ mit $4$ .

$\frac{\frac{658 - 448}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.32.2

Subtrahiere $448$ von $658$ .

$\frac{\frac{210}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.33

Kürze den gemeinsamen Teiler von $210$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.33.1

Faktorisiere $2$ aus $210$ heraus.

$\frac{\frac{2 (105)}{4}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.33.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1.33.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.33.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot 105}{2 \cdot 2}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.1.33.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{({(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(1 \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{14^{2}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.4.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{196}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{196}{16} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 (49)}{16} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 (1 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{1}}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 (\frac{14}{4}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 18.2.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 (7)}{4} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - 7 (\frac{7}{2}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.13

Multipliziere $- 7 (\frac{7}{2})$ .

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Schritt 18.2.1.13.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.13.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} + \frac{- 49}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 18.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - (\frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2.3

Schreibe $16$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 49 \cdot 2 + 16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.4.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $2$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 98 + 16 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{49 - 98 + 64}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.5

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{- 49 + 64}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.6

Addiere $- 49$ und $64$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{{(\frac{15}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{4}$ an.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 18.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.2.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 18.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 18.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 18.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Schritt 18.2.8.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{105}{2}}{\frac{15^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Schritt 18.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{105}{2} \cdot \frac{8}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.4

Kombinieren.

$\frac{105 \cdot 8}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.5

Faktorisiere $2$ aus $105 \cdot 8$ heraus.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 (15^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 18.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (105 \cdot 4)}{2 \cdot 15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{105 \cdot 4}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18.7

Mutltipliziere $105$ mit $4$ .

$\frac{420}{15^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 19

$x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 20.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{{(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{{(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 20.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{14}}^{4}$ als $14^{2}$ um.

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Schritt 20.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 20.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{14^{2}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.3.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{196}{2^{4}} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{196}{16} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 (49)}{16} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} + 16}$

Schritt 20.2.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2}) + 16}$

Schritt 20.2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{14}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}})) + 16}$

Schritt 20.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 20.2.6.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 (1 (\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}})) + 16}$

Schritt 20.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 20.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{14}{2^{2}} + 16}$

Schritt 20.2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 (\frac{14}{4}) + 16}$

Schritt 20.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 20.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 (7)}{4} + 16}$

Schritt 20.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 20.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 20.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - 7 (\frac{7}{2}) + 16}$

Schritt 20.2.10

Multipliziere $- 7 (\frac{7}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.10.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} + 16}$

Schritt 20.2.10.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 49}{2} + 16}$

Schritt 20.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16}$

Schritt 20.2.12

Um $- \frac{49}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2} + 16}$

Schritt 20.2.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 20.2.13.1

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 16}$

Schritt 20.2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{49 \cdot 2}{4} + 16}$

Schritt 20.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49 - 49 \cdot 2}{4} + 16}$

Schritt 20.2.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.2.15.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{49 - 98}{4} + 16}$

Schritt 20.2.15.2

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + 16}$

Schritt 20.2.16

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 20.2.17

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}}$

Schritt 20.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49 + 16 \cdot 4}{4}}$

Schritt 20.2.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.2.19.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{- 49 + 64}{4}}$

Schritt 20.2.19.2

Addiere $- 49$ und $64$ .

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \sqrt{\frac{15}{4}}$

Schritt 20.2.20

Schreibe $\sqrt{\frac{15}{4}}$ als $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$

Schritt 20.2.21

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 20.2.21.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 20.2.21.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{\sqrt{14}}{2}) = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Schritt 20.2.22

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{15}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sqrt{x^{4} - 7 x^{2} + 16}$ .

$(0, 4)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 22