Analysis Beispiele

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 500 t$ und $g (t) = 2 t^{2} + 9$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $500$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $500 t$ nach $t$ gleich $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $500$ mit $1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{2} + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{2}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $4 t$ und $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $500$ mit $2$ .

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ .

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 500$ mit $4$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2000 t^{2}$ von $1000 t^{2}$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $500$ aus $- 1000 t^{2} + 4500$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $500$ aus $- 1000 t^{2}$ heraus.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $500$ aus $4500$ heraus.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $500$ aus $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ heraus.

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t^{2}$ heraus.

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.5

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.7

Schreibe $- (2 t^{2} - 9)$ als $- 1 (2 t^{2} - 9)$ um.

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$