Analysis Beispiele

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ gleich $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ist mit $f (v) = v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ und $g (v) = v$ .

$\frac{v \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v \sqrt{v}] - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

$\frac{v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v}$ als $v^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere $v$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v)]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $v$ .

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + 1}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ nach $v$ gleich $- 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 2 (3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 6 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 6 v^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 3 v^{\frac{1}{2}}}{1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 3.13.4

Dividiere $- 3 v^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) + (- v^{3} - (- 2 v \sqrt{v})) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 v \cdot v^{2} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $v$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{3 (v^{2} v) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $v^{2}$ mit $v$ .

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Schritt 5.4.1.2.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{3 (v^{2} v^{1}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 v^{2 + 1} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 v^{3} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 v^{3} - 3 v \cdot v^{\frac{1}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Multipliziere $v$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.4.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.2

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $v$ .

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Schritt 5.4.1.4.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v^{1}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + 1} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1 + 2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 (v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Schritt 5.4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $v^{3}$ von $3 v^{3}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Schritt 5.5

Vereine die Terme

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Schritt 5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v}$ als $v^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere $v$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.2.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2.2

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $v$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.3

Addiere $- 3 v^{\frac{3}{2}}$ und $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.5.4.1

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $2 v^{3}$ heraus.

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $- v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{v^{2}}$

Schritt 5.5.4.3

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}} - 1)}{v^{2}}$

Schritt 5.5.5

Bringe $v^{\frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2} v^{- \frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.6

Multipliziere $v^{2}$ mit $v^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 - \frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.6.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.6.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 5.5.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Schritt 5.5.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.6.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Schritt 5.5.6.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{1}{2}}}$