Analysis Beispiele

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ gleich $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ist mit $f (v) = 2 t$ und $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1

Da $2 t$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${(t + 1)}^{2}$ als $(t + 1) (t + 1)$ um.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $(t + 1) (t + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $t$ und $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Da $t^{2} + 2 t + 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $t^{2} + 2 t + 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe ${(t + 1)}^{2}$ als $(t + 1) (t + 1)$ um.

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Multipliziere $(t + 1) (t + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Addiere $t$ und $t$ .

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $t^{2} + 2 t + 1$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.6

Multipliziere $- 2 t \cdot 0$ .

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Schritt 6.1.1.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $t$ .

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch ${(t + 1)}^{4}$ .

$0$