Analysis Beispiele

$\frac{(\tan (x) - 1)}{\sec (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \tan (x) - 1$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.1.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $\sec (x) \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ heraus.

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.4.1.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.4.1.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$