Analysis Beispiele

$y = \frac{{(x - 6)}^{9}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 6)}^{9}$ und $g (x) = {(x - 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{9}] - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + 0)) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \cdot 1) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 5.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ aus ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8} - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ aus ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8}$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ aus $- {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ aus ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x \cdot 9 - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 45 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $6 x$ von $9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 45 + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.5

Addiere $- 45$ und $36$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x) - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x + 3 \cdot - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x - 3))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} \cdot 3 (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{3 \cdot ({(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}) (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{6})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{6 \cdot 2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{12}}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 5)}^{5}$ und ${(x - 5)}^{12}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5}$ aus $3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{12}}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{5}$ aus ${(x - 5)}^{12}$ heraus.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{7}}$