Analysis Beispiele

$\frac{(20 x^{3} + 14 x^{2} - 3)}{(5 x^{2} - 4 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 20 x^{3} + 14 x^{2} - 3$ und $g (x) = 5 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) \frac{d}{d x} [20 x^{3} + 14 x^{2} - 3] - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} + 14 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + \frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{2}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x + 0) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Addiere $60 x^{2} + 28 x$ und $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x]}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 6.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 7.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (10 x - 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (10 x - 4 \cdot 1)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) - (20 x^{3} + 14 x^{2} - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $(5 x^{2} - 4 x) (60 x^{2} + 28 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} (60 x^{2} + 28 x) - 4 x (60 x^{2} + 28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} (60 x^{2}) + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2} + 28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} (60 x^{2}) + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 \cdot 60 x^{2} x^{2} + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 60 (x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \cdot 60 x^{2 + 2} + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{5 \cdot 60 x^{4} + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $60$ .

$\frac{300 x^{4} + 5 x^{2} (28 x) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 x^{4} + 5 \cdot 28 x^{2} x - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{300 x^{4} + 5 \cdot 28 (x \cdot x^{2}) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{300 x^{4} + 5 \cdot 28 (x^{1} x^{2}) - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{300 x^{4} + 5 \cdot 28 x^{1 + 2} - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{300 x^{4} + 5 \cdot 28 x^{3} - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $28$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 x (60 x^{2}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 \cdot 60 x \cdot x^{2} - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.8

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 \cdot 60 (x^{2} x) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.2.1.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 \cdot 60 (x^{2} x^{1}) - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 \cdot 60 x^{2 + 1} - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 4 \cdot 60 x^{3} - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 240 x^{3} - 4 x (28 x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 240 x^{3} - 4 \cdot 28 x \cdot x + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.11

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1.11.1

Bewege $x$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 240 x^{3} - 4 \cdot 28 (x \cdot x) + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 240 x^{3} - 4 \cdot 28 x^{2} + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.1.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $28$ .

$\frac{300 x^{4} + 140 x^{3} - 240 x^{3} - 112 x^{2} + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.2

Subtrahiere $240 x^{3}$ von $140 x^{3}$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} + (- (20 x^{3}) - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.3.1

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} + (- 20 x^{3} - (14 x^{2}) - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} + (- 20 x^{3} - 14 x^{2} - - 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} + (- 20 x^{3} - 14 x^{2} + 3) (10 x - 4)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Multipliziere $(- 20 x^{3} - 14 x^{2} + 3) (10 x - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 x^{3} (10 x) - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 \cdot 10 x^{3} x - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 \cdot 10 (x \cdot x^{3}) - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 \cdot 10 (x^{1} x^{3}) - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 \cdot 10 x^{1 + 3} - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 20 \cdot 10 x^{4} - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} - 20 x^{3} \cdot - 4 - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 x^{2} (10 x) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 \cdot 10 x^{2} x - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.5.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 \cdot 10 (x \cdot x^{2}) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.5.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 \cdot 10 (x^{1} x^{2}) - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 \cdot 10 x^{1 + 2} - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 14 \cdot 10 x^{3} - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.7

Mutltipliziere $- 14$ mit $10$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 140 x^{3} - 14 x^{2} \cdot - 4 + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 14$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 140 x^{3} + 56 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.9

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 140 x^{3} + 56 x^{2} + 30 x + 3 \cdot - 4}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} + 80 x^{3} - 140 x^{3} + 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Subtrahiere $140 x^{3}$ von $80 x^{3}$ .

$\frac{300 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 200 x^{4} - 60 x^{3} + 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $200 x^{4}$ von $300 x^{4}$ .

$\frac{100 x^{4} - 100 x^{3} - 112 x^{2} - 60 x^{3} + 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $60 x^{3}$ von $- 100 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{4} - 160 x^{3} - 112 x^{2} + 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.2.4

Addiere $- 112 x^{2}$ und $56 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{4} - 160 x^{3} - 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2$ aus $100 x^{4} - 160 x^{3} - 56 x^{2} + 30 x - 12$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $100 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4}) - 160 x^{3} - 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 160 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4}) + 2 (- 80 x^{3}) - 56 x^{2} + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 56 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4}) + 2 (- 80 x^{3}) + 2 (- 28 x^{2}) + 30 x - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere $2$ aus $30 x$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4}) + 2 (- 80 x^{3}) + 2 (- 28 x^{2}) + 2 (15 x) - 12}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.5

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4}) + 2 (- 80 x^{3}) + 2 (- 28 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 6)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (50 x^{4}) + 2 (- 80 x^{3})$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3}) + 2 (- 28 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 6)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (50 x^{4} - 80 x^{3}) + 2 (- 28 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 6)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2}) + 2 (15 x)$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x) + 2 (- 6)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.3.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x) + 2 (- 6)$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x - 6)}{{(5 x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 8.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x - 6)}{{(x (5 x) - 4 x)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x - 6)}{{(x (5 x) + x \cdot - 4)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x) + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x - 6)}{{(x (5 x - 4))}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Wende die Produktregel auf $x (5 x - 4)$ an.

$\frac{2 (50 x^{4} - 80 x^{3} - 28 x^{2} + 15 x - 6)}{x^{2} {(5 x - 4)}^{2}}$