Analysis Beispiele

$y = \frac{64}{x^{2} + 16}$ , $x = 3$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{64}{3^{2} + 16}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{64}{9 + 16}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $9$ und $16$ .

$y = \frac{64}{25}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = \frac{64}{25}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{64}{x^{2} + 16}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 16}$ als ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ um.

$64 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 16$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 16$ .

$64 (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- 64 ({(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 2.3.4

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$- 128 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 128 \frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 128$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Bringe $128$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- \frac{128 (3)}{{({(3)}^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $128$ mit $3$ .

$- \frac{384}{{(3^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $9$ und $16$ .

$- \frac{384}{25^{2}}$

Schritt 2.6.2.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$- \frac{384}{625}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{384}{625}$ und einen gegebenen Punkt $(3, \frac{64}{25})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{64}{25}) = - \frac{384}{625} \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{64}{25} = 0 + 0 - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} x - \frac{384}{625} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} - \frac{384}{625} \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{384}{625} \cdot - 3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + 3 (\frac{384}{625})$

Schritt 3.3.1.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{3 \cdot 384}{625}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $384$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{1152}{625}$

Schritt 3.3.1.6

Bringe $384$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{64}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25}$

Schritt 3.3.2.2

Um $\frac{64}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $625$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{64}{25}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{625}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 64 \cdot 25}{625}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 1600}{625}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $1152$ und $1600$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{384}{625} x) + \frac{2752}{625}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{384}{625} x + \frac{2752}{625}$

Schritt 4