Analysis Beispiele

$y = - 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 25$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 25$ .

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Schritt 1.1

Setze $25$ für $x$ ein.

$y = - 9 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 9 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 9 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + 25^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 9 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $- 9 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = - 9 {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 9 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 9 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 9 \cdot 5^{1} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.4

Berechne den Exponenten.

$y = - 9 \cdot 5 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$y = - 45 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = - 45 + {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 45 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 45 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 45 + 5^{3}$

Schritt 1.2.4.1.9

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y = - 45 + 125$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $- 45$ und $125$ .

$y = 80$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 25$ und $y = 80$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $- 9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 25$ .

$\frac{3 {(25)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 5^{1}}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cdot 5}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.6.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.6.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 \cdot 5^{1}}$

Schritt 2.6.1.3.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{15}{2} - \frac{9}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{10}$

Schritt 2.6.2

Um $\frac{15}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9}{10}$

Schritt 2.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{9}{10}$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{15 \cdot 5}{10} - \frac{9}{10}$

Schritt 2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 \cdot 5 - 9}{10}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$\frac{75 - 9}{10}$

Schritt 2.6.5.2

Subtrahiere $9$ von $75$ .

$\frac{66}{10}$

Schritt 2.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $66$ und $10$ .

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Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $66$ heraus.

$\frac{2 (33)}{10}$

Schritt 2.6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{33}{5}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{33}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(25, 80)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (80) = \frac{33}{5} \cdot (x - (25))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 80 = \frac{33}{5} \cdot (x - 25)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{33}{5} \cdot (x - 25)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 80 = 0 + 0 + \frac{33}{5} \cdot (x - 25)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 80 = \frac{33}{5} \cdot (x - 25)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 80 = \frac{33}{5} x + \frac{33}{5} \cdot - 25$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{33}{5}$ und $x$ .

$y - 80 = \frac{33 x}{5} + \frac{33}{5} \cdot - 25$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $- 25$ heraus.

$y - 80 = \frac{33 x}{5} + \frac{33}{5} \cdot (5 (- 5))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 80 = \frac{33 x}{5} + \frac{33}{5} \cdot (5 \cdot - 5)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 80 = \frac{33 x}{5} + 33 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $33$ mit $- 5$ .

$y - 80 = \frac{33 x}{5} - 165$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $80$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{33 x}{5} - 165 + 80$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 165$ und $80$ .

$y = \frac{33 x}{5} - 85$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{33}{5} x - 85$

Schritt 4