Analysis Beispiele

$8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Schreibe $8 \sin (x) \cos (x)$ als Gleichung.

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 2.1

Setze $\frac{π}{3}$ für $x$ ein.

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = 2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 2.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = 4 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sqrt{3}$

Schritt 3

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = 2 \sqrt{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 3.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 3.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15

Vereinfache.

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Schritt 3.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.15.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.15.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.15.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 3.15.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3.15.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.15.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 3.15.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Schritt 3.15.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.15.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Schritt 3.15.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Schritt 3.15.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 + 2$

Schritt 3.15.2

Addiere $- 6$ und $2$ .

$- 4$

Schritt 4

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 4.1

Benutze die Steigung $- 4$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2 \sqrt{3}) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $- 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.3.1.1

Forme um.

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x - 4 (- \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $- 4 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + 4 \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{π}{3}$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + \frac{4 π}{3}$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 4.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 4.3.3.1

Um $2 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Kombiniere $2 \sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 4 x + \frac{4 π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π + 6 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5