Analysis Beispiele

${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{4}$ und $g (w) = 1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w^{3} + 3}$ als ${(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ und $g (w) = w^{3} + 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{3} + 3$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [3]))$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 3.11

Addiere $3 w^{2}$ und $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2}))$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 w^{2}))$

Schritt 3.13

Kombiniere $3$ und $\frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} w^{2})$

Schritt 3.14

Kombiniere $\frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $w^{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} w^{2}}{2})$

Schritt 3.15

Bringe ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4

Addiere $0$ und $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Vereine die Terme

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{3 w^{2} \cdot 4}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ heraus.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 ({(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$