Analysis Beispiele

$y = \cot^{-1} (\sqrt{2 t})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cot^{-1} (t)$ und $g (t) = \sqrt{2 t}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sqrt{2 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\cot^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cot^{-1} (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{2 t}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 t}$ als ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (t)$ an.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 9

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Vereine die Terme

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Schritt 12.1

Schreibe ${\sqrt{2 t}}^{2}$ als $2 t$ um.

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Schritt 12.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 t}$ als ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{1 + {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{1}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.1.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{1 + 2 t} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 + 2 t}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (1 + 2 t)}$