Analysis Beispiele

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ um.

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ heraus.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Produktregel auf $x^{2} (x + 9)$ an.

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 3 x^{2} - 18 x$ mit $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x^{2} - 18 x$ heraus.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- x) + 3 x (- 6)$ heraus.

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x (- x - 6)$ heraus.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} {(x + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Schritt 4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.13

Schreibe $- (x + 6)$ als $- 1 (x + 6)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$