Analysis Beispiele

$70 x - 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $70 x - 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [70 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $70 x$ nach $x$ gleich $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $70$ mit $1$ .

$70 + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

$70 - 2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$70 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$70 - 2 (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) - 2 (2 x)))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 2 (2 x)))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 4 x))$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$70 - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 4 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$70 - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2}) - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (- 4 x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 12$ .

$70 - 108 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x^{2} - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (- 4 x)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$70 - 108 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x^{2} + 48 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- 108 x^{2} {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} + 48 x {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} + 70$