Analysis Beispiele

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{16}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{16}{x} = 0$ mit $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16}{x}$ in den Zähler.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 16$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 16$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2, - 2$ .

$2, - 2$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{16}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 7

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $16$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 4$ und $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 9

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 2)$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$f' (1) = - 12$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 10.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 11

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 2), (2, \infty)$

Schritt 12

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Schritt 12.2.2

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Schritt 12.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $\frac{20}{3}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 13

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 2)$

Schritt 14