Analysis Beispiele

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Schritt 1

Schreibe $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ als Funktion.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $0.05$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.05 x$ nach $x$ gleich $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $0.05$ mit $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Schritt 2.1.3

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $500$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{500}{x}$ nach $x$ gleich $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Schritt 2.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.2.1

Addiere $0.05$ und $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.5.2.2

Kombiniere $- 500$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Schritt 2.1.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Schritt 2.1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0.05$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{500}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 0.05 x^{2} = - 500$ um.

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 0.05 x^{2} = - 500$ durch $- 0.05$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.05 x^{2} = - 500$ durch $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.05$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 500$ durch $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Schritt 3.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{10000}$ .

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Schritt 3.5.4.1

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 100$

Schritt 3.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 100$

Schritt 3.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 100$

Schritt 3.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 100, - 100$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $100, - 100$ .

$100, - 100$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{500}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 100)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 101$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $- 101$ mit $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Schritt 7.2.2

Um $0.05$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.3.1

Kombiniere $0.05$ und $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $- 500$ und $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Schritt 7.2.5

Dividiere $10.05$ durch $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.00098519$ .

$0.00098519$

Schritt 7.3

Bei $x = - 101$ ist die Ableitung $0.00098519$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 100)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 100)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 100, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 50$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 50$ mit $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Schritt 8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $500$ und $2500$ .

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Schritt 8.2.1.2.1

Faktorisiere $500$ aus $500$ heraus.

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Schritt 8.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1.2.2.1

Faktorisiere $500$ aus $2500$ heraus.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Schritt 8.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Schritt 8.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Schritt 8.2.2

Um $0.05$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.3.1

Kombiniere $0.05$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Schritt 8.2.4.2

Addiere $- 1$ und $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Schritt 8.2.5

Dividiere $- 0.75$ durch $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 0.15$ .

$- 0.15$

Schritt 8.3

Bei $x = - 50$ ist die Ableitung $- 0.15$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 100, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 100, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 100)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $50$ .

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $500$ und $2500$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Faktorisiere $500$ aus $500$ heraus.

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Schritt 9.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1.2.2.1

Faktorisiere $500$ aus $2500$ heraus.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Schritt 9.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Schritt 9.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Schritt 9.2.2

Um $0.05$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.3.1

Kombiniere $0.05$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Schritt 9.2.4.2

Addiere $- 1$ und $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Schritt 9.2.5

Dividiere $- 0.75$ durch $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Schritt 9.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 0.15$ .

$- 0.15$

Schritt 9.3

Bei $x = 50$ ist die Ableitung $- 0.15$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 100)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 100)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(100, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $101$ .

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $101$ mit $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Schritt 10.2.2

Um $0.05$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Schritt 10.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.3.1

Kombiniere $0.05$ und $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Schritt 10.2.4.2

Addiere $- 500$ und $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Schritt 10.2.5

Dividiere $10.05$ durch $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Schritt 10.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.00098519$ .

$0.00098519$

Schritt 10.3

Bei $x = 101$ ist die Ableitung $0.00098519$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(100, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(100, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 100, 0), (0, 100)$

Schritt 12