Analysis Beispiele

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 36$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 36$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.7

Kombiniere $7$ und $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.8.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.4

Mutltipliziere $72$ mit $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ .

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Schritt 2.1.8.4.2.1

Subtrahiere $14 x^{3}$ von $14 x^{3}$ .

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.1.8.4.2.2

Addiere $504 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$504 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $504 x = 0$ durch $504$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $504 x = 0$ durch $504$ .

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $504$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{504}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $504$ .

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $504$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $36$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $37$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{504}{1369}$ .

$- \frac{504}{1369}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{504}{1369}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $504$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $1$ und $36$ .

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $37$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{504}{1369}$ .

$\frac{504}{1369}$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{504}{1369}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 9