Analysis Beispiele

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ als Funktion.

$f (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $3 t^{2} + 27$ mit $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} + 27$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Da $27$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.8.1

Addiere $6 t$ und $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.8

Subtrahiere $6 t^{2}$ von $3 t^{2}$ .

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.10.3.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 t^{2} + 108$ heraus.

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Schritt 2.1.10.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 t^{2}$ heraus.

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3.1.2

Faktorisiere $12$ aus $108$ heraus.

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ heraus.

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3.3

Stelle $- t^{2}$ und $3^{2}$ um.

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = t$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.10.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2} + 27$ heraus.

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Schritt 2.1.10.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2}$ heraus.

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Schritt 2.1.10.4.2

Wende die Produktregel auf $3 (t^{2} + 9)$ an.

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 2.1.10.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 (3 + t) (3 - t)$ heraus.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.10.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.10.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 2.1.10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 2.1.10.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $3 + t$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $3 + t$ gleich $0$ .

$3 + t = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 3$

Schritt 3.3.3

Setze $3 - t$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $3 - t$ gleich $0$ .

$3 - t = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $3 - t = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- t = - 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- t = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- t = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$t = 3$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ wahr machen.

$t = - 3, 3$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $t$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.2.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $16$ und $9$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

Schritt 6.2.3.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $625$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

Schritt 6.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Schritt 6.3

Bei $t = - 4$ ist die Ableitung $- \frac{28}{1875}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f' (t) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + 0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (3 + 0) (3 - (0))$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 7.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $3$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (0) = \frac{12}{81}$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $81$ .

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Schritt 7.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Schritt 7.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{4}{27}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Schritt 7.3

Bei $t = 0$ ist die Ableitung $\frac{4}{27}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 3, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 3, 3)$ , da $f' (t) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $16$ und $9$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

Schritt 8.2.3.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $28$ mit $- 1$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $625$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{1875}$

Schritt 8.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{28}{1875}$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Schritt 8.3

Bei $t = 4$ ist die Ableitung $- \frac{28}{1875}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, \infty)$ da $f' (t) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 3, 3)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Schritt 10