Analysis Beispiele

$h (x) = \frac{{(4 x - 2)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(4 x - 2)}^{4}$ und $g (x) = {(- 5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{({(- 5 x + 1)}^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 5 x + 1)}^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{4}] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 4 x - 2$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x - 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x - 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{5} (4 {(4 x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(- 5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2] - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} (4 + 0) - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} \cdot 4 - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 5 x + 1)}^{5}]}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = - 5 x + 1$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 5 x + 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 5 x + 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - {(4 x - 2)}^{4} (5 {(- 5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x + 1])}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} (- 5 + 0))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.7.1

Addiere $- 5$ und $0$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} ({(- 5 x + 1)}^{4} \cdot - 5)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.7.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von ${(- 5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} - 5 {(4 x - 2)}^{4} (- 5 \cdot {(- 5 x + 1)}^{4})}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 6.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ aus $16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3} + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ aus $16 {(- 5 x + 1)}^{5} {(4 x - 2)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + 25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ aus $25 {(4 x - 2)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + {(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3}$ aus ${(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1)) + {(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (25 (4 x - 2))$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(4 x - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x) - 2)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x) + 2 (- 1))}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} {(2 (2 x - 1))}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.3

Wende die Produktregel auf $2 (2 x - 1)$ an.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 2^{3} {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x + 1) + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (16 (- 5 x) + 16 \cdot 1 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 \cdot 1 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 25 (4 x - 2))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 25 (4 x) + 25 \cdot - 2)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 100 x + 25 \cdot - 2)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.5.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 2$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (- 80 x + 16 + 100 x - 50)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.6

Addiere $- 80 x$ und $100 x$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (20 x + 16 - 50)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.7

Subtrahiere $50$ von $16$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (20 x - 34)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere $2$ aus $20 x - 34$ heraus.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x) - 34)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x) + 2 (- 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x) + 2 (- 17)$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} (2 (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 8 {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} \cdot 16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von ${(- 5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{16 \cdot {(- 5 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 5 x + 1)}^{4}$ und ${(- 5 x + 1)}^{10}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4}$ aus $16 {(- 5 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{10}}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere ${(- 5 x + 1)}^{4}$ aus ${(- 5 x + 1)}^{10}$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{6}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 5 x + 1)}^{4} (16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17))}{{(- 5 x + 1)}^{4} {(- 5 x + 1)}^{6}}$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 {(2 x - 1)}^{3} (10 x - 17)}{{(- 5 x + 1)}^{6}}$