Analysis Beispiele

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Kettenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $x$ und $x^{2}$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{2}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{x}^{c} e^{t^{2}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{2}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{2}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t]$

Schritt 4

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{2}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t]$

Schritt 5

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{x} e^{t^{2}} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$- e^{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$- e^{x^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 7.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- e^{x^{2}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{4}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$2 e^{x^{4}} x - e^{x^{2}}$

Schritt 8.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{4}} x - e^{x^{2}}$ um.

$2 x e^{x^{4}} - e^{x^{2}}$