Analysis Beispiele

$64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$

Schritt 1

Schreibe $64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ als Funktion.

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{2}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{54}{x}$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.1.1.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.5.2.1

Kombiniere $- 54$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.1.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.1.1.5.2.3

Addiere $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $128 x$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $128$ mit $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{54}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$128 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$128 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$128 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$128 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.1.2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$128 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 2.1.2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$128 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.1.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.1.2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 54$ .

$128 + 108 x^{- 3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $108$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{108}{x^{3}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 128$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{108}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $128$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{108}{x^{3}} = - 128$

Schritt 2.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ mit $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$108 = - 128 x^{3}$

Schritt 2.2.5

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 128 x^{3} = 108$ um.

$- 128 x^{3} = 108$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $108$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 128 x^{3} - 108 = 0$

Schritt 2.2.5.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 128 x^{3} - 108$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 128 x^{3}$ heraus.

$- 4 (32 x^{3}) - 108 = 0$

Schritt 2.2.5.3.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 108$ heraus.

$- 4 (32 x^{3}) - 4 \cdot 27 = 0$

Schritt 2.2.5.3.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (32 x^{3}) - 4 (27)$ heraus.

$- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$

Schritt 2.2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.5.4.2.1.2

Dividiere $32 x^{3} + 27$ durch $1$ .

$32 x^{3} + 27 = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$32 x^{3} + 27 = 0$

Schritt 2.2.5.5

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 x^{3} = - 27$

Schritt 2.2.5.6

Teile jeden Ausdruck in $32 x^{3} = - 27$ durch $32$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $32 x^{3} = - 27$ durch $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Schritt 2.2.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Schritt 2.2.5.6.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{- 27}{32}$

Schritt 2.2.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{3} = - \frac{27}{32}$

Schritt 2.2.5.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$

Schritt 2.2.5.8

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.1

Schreibe $- \frac{27}{32}$ als ${(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{27}{32}}$

Schritt 2.2.5.8.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{3}$ aus $27$ heraus.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{32}}$

Schritt 2.2.5.8.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $32$ heraus.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}}$

Schritt 2.2.5.8.1.4

Ordne den Bruch $\frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4})}$

Schritt 2.2.5.8.1.5

Schreibe ${(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$ als ${(- \frac{3}{2})}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}}$

Schritt 2.2.5.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.2.5.8.3

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 2.2.5.8.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 2.2.5.8.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 2.2.5.8.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 2.2.5.8.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 2.2.5.8.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.2.5.8.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 2.2.5.8.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.7.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.7.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.7.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.7.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.8.8.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - 3 \frac{\sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.8.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{54}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) \cup (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{108}{{(- 3)}^{3}} + 128$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{108}{- 27} + 128$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $108$ durch $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 4 + 128$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 4$ und $128$ .

$f'' (- 3) = 124$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $124$ .

$124$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ konvex, weil $f'' (- 3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.47$ .

$f'' (- 0.47) = \frac{108}{{(- 0.47)}^{3}} + 128$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.47$ mit $3$ .

$f'' (- 0.47) = \frac{108}{- 0.103823} + 128$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $108$ durch $- 0.103823$ .

$f'' (- 0.47) = - 1040.23193319 + 128$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 1040.23193319$ und $128$ .

$f'' (- 0.47) = - 912.23193319$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 912.23193319$ .

$- 912.23193319$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ konkav, weil $f'' (- 0.47)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{108}{{(2)}^{3}} + 128$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{108}{8} + 128$

Schritt 7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4 (27)}{8} + 128$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 27}{4 \cdot 2} + 128$

Schritt 7.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 27}{4 \cdot 2} + 128$

Schritt 7.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{27}{2} + 128$

Schritt 7.2.2

Um $128$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{27}{2} + 128 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $128$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{27}{2} + \frac{128 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (2) = \frac{27 + 128 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $128$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{27 + 256}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $27$ und $256$ .

$f'' (2) = \frac{283}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{283}{2}$ .

$\frac{283}{2}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9