Analysis Beispiele

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Schritt 1.2

Löse $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $\ln (7 e^{x})$ als $\ln (7) + \ln (e^{x})$ um.

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Schritt 1.2.2.2

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Schritt 1.2.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Schritt 1.2.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $\ln (7 x e^{x})$ als $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ um.

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\ln (7 x)$ als $\ln (7) + \ln (x)$ um.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Schritt 1.2.3.3

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Schritt 1.2.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Schritt 1.2.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Schritt 1.2.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Schritt 1.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Schritt 1.2.8

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Schritt 1.2.9

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Schritt 1.2.10

Schreibe $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{x} = e^{0}$ um.

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Schritt 1.2.11.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Schritt 1.2.11.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.11.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Schritt 1.2.11.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + y = 7 x e^{x}$

Schritt 1.2.11.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.11.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = 1$ mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 1.2.11.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.11.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.11.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 1.2.11.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1 x$

Schritt 1.2.11.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.11.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = x$

Schritt 1.2.11.5

Schreibe die Gleichung als $x = 1$ um.

$x = 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 7 (1) \cdot e$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$y = 7 e$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 7 e)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Schritt 3.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Schritt 3.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Schritt 3.6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Schritt 3.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Schritt 3.8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Schritt 3.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Berechne $x e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Schritt 3.9.2

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Schritt 3.9.3

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4

Vereinfache.

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Schritt 3.9.4.1

Vereinfache.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.5

Addiere $e$ und $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.6

Vereinfache.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Schritt 3.9.4.9

Vereinfache.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Schritt 3.9.4.10

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.9.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10.1.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Schritt 3.10.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Schritt 3.10.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Schritt 3.10.2

Addiere $7$ und $7$ .

$14 - 7 e$

Schritt 4