Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 16$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $16$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Schritt 3.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $16$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.5.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Schritt 3.5.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.5.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + 0$

Schritt 3.5.2.13

Addiere $\frac{128}{3}$ und $0$ .

$\frac{128}{3}$

Schritt 4