Analysis Beispiele

$y = x - x^{5}$

Schritt 1

Stelle $x$ und $- x^{5}$ um.

$y = - x^{5} + x$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - x^{5} + x$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{5} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 1$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} + 1 = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x^{4} = - 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x^{4} = - 1$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x^{4} = - 1$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{4} = \frac{1}{5}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

Schritt 4.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Schritt 4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Schritt 4.4.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Schritt 4.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

Schritt 4.4.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

Schritt 4.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{5}}^{4}$ als $5$ um.

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Schritt 4.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 4.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 4.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

Schritt 4.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

Schritt 4.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{5}}^{3}$ als $\sqrt[4]{5^{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

Schritt 4.4.5.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{5} + x$ bei $x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ als $\sqrt[4]{125^{5}}$ um.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.2.2

Potenziere $125$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.2.3

Schreibe $30517578125$ als $125^{4} \cdot 125$ um.

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Schritt 5.2.2.2.3.1

Faktorisiere $244140625$ aus $30517578125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.2.3.2

Schreibe $244140625$ als $125^{4}$ um.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $125$ und $3125$ .

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Schritt 5.2.2.4.1

Faktorisiere $125$ aus $125 \sqrt[4]{125}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.4.2.1

Faktorisiere $125$ aus $3125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 5.2.3

Um $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 5.2.6.2

Addiere $- \sqrt[4]{125}$ und $5 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 5.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 6

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{5} + x$ bei $x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ als $\sqrt[4]{125^{5}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.5.2

Potenziere $125$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.5.3

Schreibe $30517578125$ als $125^{4} \cdot 125$ um.

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Schritt 6.2.2.5.3.1

Faktorisiere $244140625$ aus $30517578125$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.5.3.2

Schreibe $244140625$ als $125^{4}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $125$ und $3125$ .

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Schritt 6.2.2.7.1

Faktorisiere $125$ aus $125 \sqrt[4]{125}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.7.2.1

Faktorisiere $125$ aus $3125$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Schritt 6.2.3

Um $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 6.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Schritt 6.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 6.2.6.2

Subtrahiere $5 \sqrt[4]{125}$ von $\sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 6.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 6.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 7

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = - x^{5} + x$ sind $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Schritt 8