Analysis Beispiele

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = x$ , $b = x^{2}$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 24 x$ heraus.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.5.5

Schreibe $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ als $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Schritt 1.6.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Schritt 1.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 24 x$ heraus.

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Schritt 1.6.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Schritt 1.6.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Schritt 1.6.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ heraus.

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.6.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.6.6

Schreibe $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ als $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Schritt 1.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + x^{2} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 3.2.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

Schritt 3.2.4

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x y y' + x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (2 y) + x y' x$ heraus.

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ durch $x (2 y + x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ durch $x (2 y + x)$ .

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + x$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

Schritt 3.5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

Schritt 3.5.3.3.2

Um $- \frac{2 y}{2 y + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (2 y + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 y + x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

Schritt 3.5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 y + x) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} - 2 y x$ heraus.

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Schritt 3.5.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y (- 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.3.9.1

Schreibe $- (y + 2 x)$ als $- 1 (y + 2 x)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.5.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y + 2 x) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y (y + 2 x) = 0$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $y (y + 2 x) = 0$ durch $y$ .

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Dividiere $y + 2 x$ durch $1$ .

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $y$ .

$y + 2 x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - y$

Schritt 4.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.8

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.9

Kombiniere $24$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.11

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.12

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.12.1

Mutltipliziere $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ mit $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.12.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13

Schreibe $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ als ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(- y^{3} + 192) y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{4})}^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.7

Schreibe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.8

Füge Klammern hinzu.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.13.9

Füge Klammern hinzu.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.15

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.18

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 2 y}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Schritt 5.2.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Schritt 5.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Schritt 5.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Schritt 5.2.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Schritt 5.2.9

Multipliziere $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Schritt 5.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Schritt 5.2.10

Stelle die Faktoren in $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Schritt 5.2.11

Die endgültige Lösung ist $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.8

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.9

Kombiniere $24$ und $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.11

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.12.1

Mutltipliziere $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ mit $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.12.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13

Schreibe $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ als ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(- y^{3} + 192) y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{4})}^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.7

Schreibe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.8

Füge Klammern hinzu.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.13.9

Füge Klammern hinzu.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.15

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.18

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 2 y}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Schritt 6.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Schritt 6.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Schritt 6.2.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.2.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Schritt 6.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Schritt 6.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Schritt 6.2.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Schritt 6.2.9

Multipliziere $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Schritt 6.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Schritt 6.2.10

Stelle die Faktoren in $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Schritt 6.2.11

Die endgültige Lösung ist $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Schritt 8