Analysis Beispiele

$5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 24$ und $c = 5 x^{2} - 10 x + 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.5

Subtrahiere $128$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $160 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $448$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ um.

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Schritt 1.3.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $128$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $160 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $448$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ um.

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Schritt 1.4.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.4.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Schritt 1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $128$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 80 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $160 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $448$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Schritt 1.5.5.4

Schreibe $- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ als $- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ um.

$y = \frac{- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$10 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$10 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 x + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$10 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [24 y]$ .

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Schritt 3.2.5.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 y$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2.6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + 0$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$ und $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$

Schritt 3.2.7.2

Stelle die Terme um.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10$

Schritt 3.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10 = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' + 24 y' - 10 = - 10 x$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' + 24 y' = - 10 x + 10$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $8 y'$ aus $8 y y' + 24 y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $8 y'$ aus $8 y y'$ heraus.

$8 y' y + 24 y' = - 10 x + 10$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $8 y'$ aus $24 y'$ heraus.

$8 y' y + 8 y' \cdot 3 = - 10 x + 10$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $8 y'$ aus $8 y' y + 8 y' \cdot 3$ heraus.

$8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ durch $8 (y + 3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ durch $8 (y + 3)$ .

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (y + 3)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{8 (y + 3)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (y + 3)$ heraus.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{2 (4 (y + 3))}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 (y + 3))}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)} = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{5}{4 (y + 3)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 x}{4 (y + 3)} = - \frac{5}{4 (y + 3)}$

Schritt 4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 5 x = - 5$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 5$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 5$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 5$ .

$x = 1$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{5 + 28}}{2}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $5$ und $28$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Schritt 6.2.1.4

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{5 + 28}}{2}$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $5$ und $28$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 8