Analysis Beispiele

$15 x^{2} - 75 x + 850$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 75}{2 (15)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 75}{2 (15)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 75}{2 (15)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 75$ und $15$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $15$ aus $- 75$ heraus.

$x = - \frac{15 \cdot - 5}{2 \cdot 15}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $15$ aus $2 \cdot 15$ heraus.

$x = - \frac{15 \cdot - 5}{15 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{15 \cdot - 5}{15 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{5}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 15 {(\frac{5}{2})}^{2} - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = 15 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 15 (\frac{25}{2^{2}}) - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 15 (\frac{25}{4}) - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $15 (\frac{25}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Kombiniere $15$ und $\frac{25}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{15 \cdot 25}{4} - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - 75 (\frac{5}{2}) + 850$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 75 (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Kombiniere $- 75$ und $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} + \frac{- 75 \cdot 5}{2} + 850$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 75$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} + \frac{- 375}{2} + 850$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375}{2} + 850$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{375}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - (\frac{375}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 850$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{375}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 850$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $850$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{850}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{850}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{850}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{850}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{850 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375}{4} - \frac{375 \cdot 2}{4} + \frac{850 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375 - 375 \cdot 2 + 850 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 375$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375 - 750 + 850 \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $850$ mit $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{375 - 750 + 3400}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $750$ von $375$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 375 + 3400}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 375$ und $3400$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{3025}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{3025}{4}$ .

$\frac{3025}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(\frac{5}{2}, \frac{3025}{4})$

Schritt 5