Analysis Beispiele

$5 - 3 x - x^{2}$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 3}{2 (- 1)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 3}{2 (- 1)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 3}{2 (- 1)}$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 - 3 (- \frac{3}{2}) - {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 3 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + 3 (\frac{3}{2}) - {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{3 \cdot 3}{2} - {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{3^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 5 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5}{1} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 4 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{20 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{20 + 18 - 9}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $20$ und $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{38 - 9}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $38$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{29}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{29}{4}$ .

$\frac{29}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, \frac{29}{4})$

Schritt 5