Analysis Beispiele

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$27 - x^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse $27 - x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} = - 27$

Schritt 1.2.2

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} + 27 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 27$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Schreibe $27$ als $- 1 (- 27)$ um.

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ heraus.

$- (x^{3} - 27) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 1.2.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.4.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Schritt 1.2.3.4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Schritt 1.2.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.2.6.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Stelle $27$ und $- x^{3}$ um.

$y = - x^{3} + 27$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0$ von $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Schritt 4.7

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Schritt 4.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $3$ und $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Schritt 4.8.2

Berechne $27 x$ bei $3$ und $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3

Vereinfache.

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Schritt 4.8.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.4

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $4$ .

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Schritt 4.8.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $80$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.5.2.4

Dividiere $20$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.7

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Schritt 4.8.3.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Schritt 4.8.3.9

Subtrahiere $27$ von $81$ .

$- 20 + 54$

Schritt 4.8.3.10

Addiere $- 20$ und $54$ .

$34$

Schritt 5