Analysis Beispiele

$f (t) = t^{3} + \frac{4}{3} t^{2} - \frac{2}{t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} + \frac{4}{3} t^{2} - \frac{2}{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{3} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{3} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [\frac{4}{3} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{4}{3} t^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3} t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 t^{2} + \frac{4}{3} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 t^{2} + \frac{4}{3} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$3 t^{2} + \frac{2 \cdot 4}{3} t + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 t^{2} + \frac{8}{3} t + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $t$ .

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} + \frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{2}{t}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{t}$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} - 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{t}$ als $t^{- 1}$ um.

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} - 2 \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} - 2 (- t^{- 2})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} + 2 t^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 t^{2} + \frac{8 t}{3} + 2 \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{t^{2}}$ .

$f' (t) = 3 t^{2} + \frac{8 t}{3} + \frac{2}{t^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} + \frac{8 t}{3} + \frac{2}{t^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{8}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 t}{3}$ nach $t$ gleich $\frac{8}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t + \frac{8}{3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 t + \frac{8}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$6 t + \frac{8}{3} + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{2}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$6 t + \frac{8}{3} + 2 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2}$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- t^{- 4} (2 t))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- 2 t^{- 4} t)$

Schritt 2.4.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Schritt 2.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- 2 t^{1 - 4})$

Schritt 2.4.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$6 t + \frac{8}{3} + 2 (- 2 t^{- 3})$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 t + \frac{8}{3} - 4 t^{- 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t + \frac{8}{3} - 4 \frac{1}{t^{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t + \frac{8}{3} + \frac{- 4}{t^{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 t + \frac{8}{3} - \frac{4}{t^{3}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (t) = 6 t - \frac{4}{t^{3}} + \frac{8}{3}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $6 t - \frac{4}{t^{3}} + \frac{8}{3}$ .

$6 t - \frac{4}{t^{3}} + \frac{8}{3}$