Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ .

$\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x)$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Schritt 1.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Schritt 1.11.4

Kombiniere $\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ und $x$ .

$\frac{10 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Schritt 1.11.5

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (5 x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Schritt 1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Schritt 1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Schritt 1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ mit $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.9.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.9.4

Kombiniere $\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ und $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.13

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - 2 \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.13.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ und $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x \cdot x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{2}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.18

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.19.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ heraus.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.21

Um ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.22

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ und $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.24

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.24.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.24.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.24.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 + 1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.24.4

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.24.5

Dividiere $6$ durch $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.25

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.26

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.27

Schreibe $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ als ein Produkt um.

$\frac{5}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.28

Mutltipliziere $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.29

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.29.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}$

Schritt 2.29.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

Schritt 2.29.3

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

Schritt 2.29.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.29.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

Schritt 2.29.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

Schritt 2.29.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

Schritt 2.29.6

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.30

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}})}$

Schritt 2.31

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.32.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (3 x^{2}) + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.32.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.32.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.3.1.2

Multipliziere $5 (3 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.32.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 \cdot 3 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.3.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 - 5 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.3.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $15 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.4

Faktorisiere $5$ aus $10 x^{2} + 15$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.32.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{2}) + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.4.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{2}) + 5 (3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 2.32.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x^{2}) + 5 (3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$