Analysis Beispiele

$f (x) = x \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Schritt 1.3.2.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x \sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

$- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x)) - \sin (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cos (x)) - \sin (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x \cos (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

$- x \cos (x) - 2 \sin (x)$