Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 6) e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.3.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$(x - 6) e^{x} + e^{x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{x} - 6 e^{x} + e^{x}$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 6 e^{x}$ und $e^{x}$ .

$x e^{x} - 5 e^{x}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{x} x - 5 e^{x}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x - 5 e^{x}$ um.

$f' (x) = x e^{x} - 5 e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} - 5 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $5 e^{x}$ von $e^{x}$ .

$x e^{x} - 4 e^{x}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x - 4 e^{x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x - 4 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x e^{x} - 4 e^{x}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x e^{x} - 4 e^{x}$ .

$x e^{x} - 4 e^{x}$