Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 \sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 3 \cos (x) - - \sin (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 3 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f''' (x) = - 3 \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 \cos (x) + \sin (x)$ .

$- 3 \cos (x) + \sin (x)$