Analysis Beispiele

$g (t) = {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{5}$ und $g (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$5 {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $t$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.6.3.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + 0)$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $t$ und $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$

Schritt 1.2.8.2

Stelle die Faktoren von $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$ um.

$f' (t) = 5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}] + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.4.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $t$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.4.3.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + 0)) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.4.6

Addiere $t$ und $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$5 (t^{1} t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$5 (t^{1} t^{1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (t^{1 + 1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ mit $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 (t^{2} ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ aus $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ aus $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ aus $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ aus $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.11.4.1

Um $4 t^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.4.2

Kombiniere $4 t^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2 + t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{8 t^{2} + t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 2.11.4.5

Addiere $8 t^{2}$ und $t^{2}$ .

$f'' (t) = 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ und $g (t) = \frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2} - 3] + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{9}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 t^{2}}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{2}$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 \cdot 9}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.3

Kombiniere $\frac{18}{2}$ und $t$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 3.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 t$ heraus.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t}{1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.4.4.2.4

Dividiere $9 t$ durch $1$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + 0) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $9 t$ und $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.3.6.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 (9 \cdot {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 \cdot (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3])$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.5.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $t$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.5.3.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 3.5.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + 0))$

Schritt 3.5.7

Addiere $t$ und $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$45 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.4

Kombiniere $3$ und $\frac{9 t^{2}}{2}$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{3 (9 t^{2})}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Schritt 3.6.7

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ aus $45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ heraus.

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Schritt 3.6.7.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.6.7.1.1

Bewege ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$

Schritt 3.6.7.1.2

Bewege ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.6.7.1.3

Bewege $\frac{27 t^{2}}{2} - 9$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.6.7.2

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ aus $45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.6.7.3

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ aus $5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.7.4

Faktorisiere $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ aus $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$ heraus.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.8

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.8.1

Um $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot \frac{2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.8.2

Kombiniere $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ und $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2 + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.9

Stelle die Faktoren von $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$ um.

$5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.10

Schreibe ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ als $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ um.

$5 t ((\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.11

Multipliziere $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} (\frac{t^{2}}{2} - 3) - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.12.1.1

Kombinieren.

$5 t (\frac{t^{2} t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.2

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.12.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 t (\frac{t^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.4

Kombiniere $\frac{t^{2}}{2}$ und $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2} \cdot - 3}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.5

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{- 3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} + \frac{- 3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.1.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.12.2

Subtrahiere $\frac{3 t^{2}}{2}$ von $- \frac{3 t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 (- 1) \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.13.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.13.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 1 (3 t^{2}) + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 3 t^{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.14

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 t \frac{t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15

Vereinfache.

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Schritt 3.6.15.1

Multipliziere $5 t \frac{t^{4}}{4}$ .

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Schritt 3.6.15.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{t^{4}}{4}$ .

$(t \frac{5 t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.1.2

Kombiniere $t$ und $\frac{5 t^{4}}{4}$ .

$(\frac{t (5 t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.1.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(\frac{5 (t^{1} t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{5 t^{1 + 4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.1.5

Addiere $1$ und $4$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.15.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.16.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.16.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.16.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.6.16.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.16.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{2 + 1} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.16.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.16.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.17.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}$ heraus.

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Schritt 3.6.17.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.1.2

Faktorisiere $9$ aus $27 t^{2}$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.17.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} - 6 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.5

Addiere $t^{2}$ und $3 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (4 t^{2} - 6)}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.6

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{2} - 6$ heraus.

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Schritt 3.6.17.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{2}$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) - 6)}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) + 2 (- 3))}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 t^{2}) + 2 (- 3)$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 \cdot 2 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.1.7

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 3.6.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 (2 t^{2} - 3)$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

Schritt 3.6.17.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.17.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 (1)} - 9)$

Schritt 3.6.17.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 \cdot 1} - 9)$

Schritt 3.6.17.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 t^{2} - 3)}{1} - 9)$

Schritt 3.6.17.2.2.4

Dividiere $9 (2 t^{2} - 3)$ durch $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2} - 3) - 9)$

Schritt 3.6.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2}) + 9 \cdot - 3 - 9)$

Schritt 3.6.17.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} + 9 \cdot - 3 - 9)$

Schritt 3.6.17.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 27 - 9)$

Schritt 3.6.18

Subtrahiere $9$ von $- 27$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$

Schritt 3.6.19

Multipliziere $(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{5 t^{5}}{4} (18 t^{2}) + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.20.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$2 (9) \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.2.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{5 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.3

Kombiniere $9$ und $\frac{5 t^{5}}{2}$ .

$\frac{9 (5 t^{5})}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.4

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.5

Multipliziere $\frac{45 t^{5}}{2} t^{2}$ .

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Schritt 3.6.20.5.1

Kombiniere $\frac{45 t^{5}}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{5} t^{2}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.5.2

Multipliziere $t^{5}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.20.5.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{45 (t^{2} t^{5})}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 t^{2 + 5}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.5.2.3

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.6.20.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 (- 9)) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 \cdot - 9) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{45 t^{7}}{2} + 5 t^{5} \cdot - 9 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{3} t^{2} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.9

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.20.9.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 (t^{2} t^{3}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{2 + 3} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.9.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.10

Mutltipliziere $- 15$ mit $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.11

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 15$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t \cdot t^{2} + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.13

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.20.13.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.13.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.6.20.13.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t^{1}) + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{2 + 1} + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.13.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.14

Mutltipliziere $45$ mit $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Schritt 3.6.20.15

Mutltipliziere $- 36$ mit $45$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Schritt 3.6.21

Subtrahiere $270 t^{5}$ von $- 45 t^{5}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Schritt 3.6.22

Addiere $540 t^{3}$ und $810 t^{3}$ .

$f''' (t) = \frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $g (t)$ nach $t$ ist $\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$