Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{3} - 7 e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - 7 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$15 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 7 e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{2} - 7 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$30 x - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 30 x - 7 e^{x}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x - 7 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$30 - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 30 - 7 e^{x}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 - 7 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 4.1.2

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - 7 e^{x}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $7 e^{x}$ von $0$ .

$f^{4} (x) = - 7 e^{x}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 7 e^{x}$ .

$- 7 e^{x}$