Analysis Beispiele

$f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 8 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 24 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 x - 24$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 24$ aus $48 x$ heraus.

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24$ heraus.

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 (x^{2}) - 24 (- 2 x)$ heraus.

$- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 (1)$ heraus.

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 24 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 24$ .

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 24$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 24}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 24$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $1$ in $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 {(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 2 + 8 \cdot 1 - 12 {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12 {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - 2 + 8 - 12 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $- 2$ und $8$ .

$f (1) = 6 - 12$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$f (1) = - 6$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(1, - 6)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, - 6)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.9$ .

$f'' (0.9) = - 24 {(0.9)}^{2} + 48 (0.9) - 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.9$ mit $2$ .

$f'' (0.9) = - 24 \cdot 0.81 + 48 (0.9) - 24$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $0.81$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 48 (0.9) - 24$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $48$ mit $0.9$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 43.2 - 24$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 19.44$ und $43.2$ .

$f'' (0.9) = 23.76 - 24$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $23.76$ .

$f'' (0.9) = - 0.24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.24$ .

$- 0.24$

Schritt 5.3

Bei $0.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.24$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 24 {(1.1)}^{2} + 48 (1.1) - 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = - 24 \cdot 1.21 + 48 (1.1) - 24$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 48 (1.1) - 24$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $48$ mit $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 52.8 - 24$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 29.04$ und $52.8$ .

$f'' (1.1) = 23.76 - 24$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $23.76$ .

$f'' (1.1) = - 0.24$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.24$ .

$- 0.24$

Schritt 6.3

Bei $1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.24$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte