Analysis Beispiele

$f (x) = x + \sin (2 x) + 5$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (2 x) + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $1 + 2 \cos (2 x)$ und $0$ .

$f' (x) = 1 + 2 \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 1.2.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$0 - 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $4 \sin (2 x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 4 \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (2 x) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (2 x) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 2.7.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = x + \sin (2 x) + 5$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.2)$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 4 \sin (- 0.2)$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.79467732$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty,)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty,)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 4 \sin (2 (0.1))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 4 \sin (0.2)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sin (0.2)$ .

$- 4 \sin (0.2)$

Schritt 6.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.79467732$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(, \infty)$

Abfallend im Intervall $(, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(,)$ .

$(,)$

Schritt 8