Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 10 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$10 - 10 (- e^{- x})$

Schritt 1.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 e^{- x} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 e^{- x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $- 10 e^{- x}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 e^{- x} = 0$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 e^{- x} = 0$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.5

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte