Analysis Beispiele

$y = \frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$20 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3.2

Schreibe ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ als $\sqrt[4]{x^{4} + 1}$ um.

$20 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}}$

Schritt 3.3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt[4]{x^{4}}$ ist.

$20 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$20 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$20 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.4.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1 + 0}}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1}}$

Schritt 3.6.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$20 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$20 \cdot 1$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 20$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 20$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7